LightOJ 1236. Pairs Forming LCM

Pairs Forming LCM

题意

给定整数 \(n\) ，求出有多少组合(i, j)，使得 \(LCM(i, j) = n\)。

\(1 \le n \le 10^{14}\)

分析

首先有 \(1 \le i, j \le n\)。

对 \(n\) 分解质因数 \(n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times p_3^{e_3} ... \times p_k^{e_k}\)。

现在取 \(n\) 的两个因子 \(a, b\) 。

\(a = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} ... \times p_k^{a_k}\)

\(b = p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} ... \times p_k^{b_k}\)

容易发现:

\(GCD(a, b) = p_1^{min(a_1, b_1)} \times p_2^{min(a_2, b_2)} ... \times p_k^{min(a_k, b_k)}\)

\(LCM(a, b) = p_1^{max(a_1, b_1)} \times p_2^{max(a_2, b_2)} ... \times p_k^{max(a_k, b_k)}\)

现在要求 \(LCM(a, b) = n\) ，即：$max(a_1, b_1) = e_1, max(a_2, b_2) = e_2 ... $
分类，如果 \(a_1 = e_1\) ，则 \(b_1 = [0, e_1]\) 有 \(e_1+1\) 种方案，同理 \(a_1\) 也有 \(e_1+1\) 种方案，除去 \(a_1=b_1=e_1\)，则一共有
\(2 * (e_1 + 1) + 1\) 种方案。

由于 \(n \le 10^{14}\) 我们只筛去 \(\sqrt{n}\) 内的质数，再判断是否存在大于 \(\sqrt{n}\) 的质因数(最多一个)。

由于要求 \(a \le b\) ，只需要最后除以2即可。至于为什么要加一，是因为 \(a \lt b\) 和 \(a \gt b\) 是对称的，但是还有一种方案是 \(a = b = n\) 。

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <limits.h>
using namespace std;

typedef unsigned long long ll;

const int N = 10000010;
const ll limit = ~0ll >> 1;

int prime[N / 10], cnt; // 质数定理，可以少开空间
bool st[N];
void get_primes () {
    for (int i = 2; i < N; i ++ ) {
        if (!st[i]) prime[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; i * prime[j] < N; j ++ ) {
            st[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

signed main ()
{
    get_primes();
    int T; cin >> T; for (int i = 1; i <= T; i ++ )
    {
        ll n; cin >> n;
        ll ans = 1;
        // 质因数分解
        for (int i = 0; i < cnt && prime[i] <= n / prime[i]; i ++ )
        {
            ll sum = 0;
            while(n % prime[i] == 0) sum ++ , n /= prime[i];
            ans *= 2 * sum + 1;
        }
        if (n > 1) ans *= 2 * 1 + 1; // 最多存在一个大于 sqrt(n) 的质因子，单独判断
        cout << "Case " << i << ": " << ans / 2 + 1 << '\n';
    }
    return 0;
}