拓展中国剩余定理

扩展中国剩余定理

中国剩余定理

对于同余方程组：

\[\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ x \equiv a_3 \pmod {m_3} \\ ..... \\ x \equiv a_n \pmod {m_n} \\ \end{cases} \]

求出满足上述同余方程组的 \(x\) 的一组解，公式满足 \(m_1,m_2, m_3 ... m_n\) 互质。

令 \(M = \prod_{i=1}^{n}m_i , M_i = M / m_i, M_i * M_i^{-1} \equiv 1 \pmod {m_i}\) 。

中国剩余定理构造出了这样一组解:

\[x = \sum_{i=1}^{n} M_i * M_i^{-1} * a_i \]

对于每一组解 \(x \equiv a_i \pmod {m_i}\) ，\(x\) 除了 \(M_i * M_i ^ {-1} * a_i\) 项之外，其余都能被 \(m_i\) 整除，所以只剩下这一项。

又因为 \(M_i * M_i^{-1} \equiv 1 \pmod {m_i}\) 。所以 \(x \equiv a_i \pmod {m_i}\) 。

扩展中国剩余定理

传统的中国剩余定理限制性太强，必须要满足 \(m_1, m_2, m_3 ... m_n\) 互质。如何求出不满足模数不互质的同余方程组的解？

先从两个柿子看起：

\[\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ \end{cases} \]

首先可以得到 \(x = k_1 * m_1 + a_1 = k_2 * m_2 + a_2\) 。

对这个柿子化简： \(k_1 * m_1 + k_2 * (-m_2) = a_2 - a_1\) 。

对于这个柿子，我们可以用扩展欧几里得求出一组满足 \(k_1 * m_1 + k_2 * (-m_2) = gcd(m_1, -m_2)\) 的 \(k_1, k_2\) 解。

记 \(gcd(m1, -m2) = d\) 。

根据贝祖定理，如果不满足 \(d | a_2 - a_1\) ，那么不存在解。否则，我们只需要扩大 \((a_2 - a_1) / d\) 倍即可得到 \(k_1\) 的一组解。

由于这是个不定方程，在求出 \(k_1\) 后，我们可以得到其他满足的解一定为 \(k_1 = k_1 + k * (m_2 / d)\) 。

我们把这个通解 \(k_1\) 带入原来的柿子：\(x = (k_1 + k * (m_2 / d)) * m_1 + a_1\) 。

得到：

\(x = k_1 * m_1 + a_1 + k * (m_1 * m_2) / d\) 。

\(x = k_1 * m_1 + a_1 + k * lcm(m_1, m_2)\) 。

令 \(m_0 = lcm(m1, m2), a_0 = k_1 * m_1 + a_1\) 。

那么，我们得到 \(x = k * m_0 + a_0\) ，这个柿子满足这两个同余方程组解。

通过这样的方式，我们就可以把两个同余方程组化简成一个，最终达到化简 \(n\) 个同余方程组的效果。

那么最终可以算出 \(x = k * m + a\) ，其中 \(m = lcm(m_1, m_2 ... m_n)\) ，所以在 \(\pmod m\) 的意义下， \(x = a\) 。

例题:Acwing 204 表达整数的奇怪方式

#include <iostream>
#include <tuple>
#include <algorithm>

#define int long long

using namespace std;

int exgcd (int a, int b, int & x, int & y)
{
    if (!b) return x = 1, y = 0, a;
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    tie(x, y) = make_tuple(y, x - (a / b) * y);
    return r;
}

int mod (int a, int b)
{
    int res = ((a % b) + b) % b;
    return res;
}

signed main ()
{
    int n; cin >> n;
    int a1, m1; cin >> a1 >> m1;
    for (int i = 1; i < n; i ++ )
    {
        int a2, m2, k1, k2; cin >> a2 >> m2;
        int r = exgcd(a1, -a2, k1, k2);
        if ((m1 - m2) % r) return cout << "-1" << endl, 0;
        k1 = mod(k1 * (m2 - m1) / r, abs(a2 / r));
        m1 = k1 * a1 + m1;
        a1 = abs(a1 * a2 / r);
    }
    cout << m1 << endl;
    return 0;
}

关于为什么取 \(abs\) 的原因:

1. 由于 \(a \% b\) 和 \(a \% -b\) 是相同的，所以我们在计算 \(k_1\) 时 需要加上 \(abs(a_2 / r)\) ，防止在 \(mod\) 过程中加上负数，结果仍然是负数。
2. 下一个阶段的 \(a_1\) 实际上一个的 \(lcm(a_1,a_2)\) ，但是在计算 \(gcd(a_1, a_2)\) 时可能出现负数，导致计算 \(lcm\) 时会出现负数，这里要取 \(abs\) 。