CF 1582E. Pchelyonok and Segments

CF 1582E.Pchelyonok and Segments

题意

给出长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，你可以把 \(a\) 分成任意 \(k\) 组不相交的子数组，要求：

1. 第一个子数组长度为 \(k\) ，第二个为 \(k-1\) ，\(...\) ，第 \(k\) 个长度为 \(1\) 。

2. 记第 \(i\) 个子数组和为 \(sum_i\) ，要求 \(sum_1 \lt sum_2 \lt ... \lt sum_k\) 。

请问 \(k\) 最大为多少？

\(1 \le n \le 10^5, 1 \le a_i \le 10^9\) 。

分析

首先，根据每段的长度，子数组一共有 \(\dfrac{k * (k + 1)}{2} \le n\) 个，我们发现 \(k\) 是不超过 \(500\) 的，

我们设 \(f(pos, t)\) 表示从 \(pos\) 位置开始时，把 \(pos \sim n\) 分成 \(t\) 段时第一段子数组和的最大值(贪心，这样前面可选择的可能性增大) ，

由于最后一段长度 \(1\) 是确定的，而前面是不确定的，会根据 \(t\) 的值改变，所以我们从后往前转移。

求 \(sum_i\) 可以使用前缀和思想。

Code

/* 终点是一切概率的结束，也是一切期望的开始 */
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i++)
#define per(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i--)
#define forr(x, s) for (auto x : s)
#define all(a) begin(a),end(a)
#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) (x<<1|1)
#define pb emplace_back
#define int long long
using namespace std; using PII = pair<int, int>;
const int N = 100010, M = 6000, mod = 998244353, INF = 0x3f3f3f3f;

int a[N], post[N]; // a 为原数组，post 为后缀和
int dp[N][550]; // dp[pos][len] 表示从pos位置开始，可以产生len段的，最近一段的最大和

void solve ()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
    for (int i = n; i >= 1; i -- ) post[i] = post[i + 1] + a[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= 550; j ++ )
            dp[i][j] = 0;
            
    dp[n][1] = a[n];
    int ans = 1;
    for (int i = n - 1; i >= 1; i -- )
    {
        dp[i][1] = max(dp[i + 1][1], a[i]); // 转移以1为段的最大和
        // 枚举大于两端的最大和
        for (int j = 2; j <= 500 && i + j <= n; j ++ )
        {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j]; // 转移
            if (dp[i + j][j - 1] != 0 && post[i] - post[i + j] < dp[i + j][j - 1])
            {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], post[i] - post[i + j]);
                ans = max(ans, j);
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

signed main ()
{
    cout.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    int _; for (cin >> _; _--; )
        solve();
    return 0;
}