RMQ算法

RMQ算法

RMQ(Range Minimun/Maximum Query)，即区间查询最值，适用于需要多次查询区间最值的问题。RMQ需要 $ O(n\log n) $​ 的预处理，之后可以在 $ O(1) $​​ 的时间内处理每次查询。

下面的演示我们以查询最小值为例。

获取ST表 $ O(nlogn) $​​

RMQ算法采用倍增的思想，设 $ st[i][j] $​​​ 表示区间 \([i, i + 2 ^ j - 1]\)​​ 中的最值，即 \(i\)​​ 后 \(2^j\)​​ 个数字的最值。我们可以把区间分为两半 \([i,i+2^{j-1}-1]\)​​ 和 \([i+2^{j-1},i+2^j-1]\)​​​，则最值可以表示为这两个子区间的最值，显然这两个区间最值为 \(st[i][j-1]\) 和 \(st[i+(1<<j-1))][j-1]\) 。则状态转移方程为:

\[st[i][j] = min(st[i][j-1], st[i+2^{j-1}][j-1]) \]

我们把这个数组记为\(st\)表(注意：\(st\)表可以用于解决许多可重复贡献区间问题，如区间\(gcd\)，区间按位和、区间按位或等)，于是我们得出代码:

Code

void RMQ ()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        st[i][0] = a[i]; // 边界处理
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
       	for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
            st[i][j] = min(st[i][j-1], st[i+(1<<j-1)][j-1]);
}

注意，状态转移方程是从小区间转移到大区间，所以我们要先处理小区间。也就是范围要先循环。

如何查询\([l, r]的最值\)​​​ \(O(1)\)​​​​​

由于\(st\)表是由倍增构建的，所以只能存储2的幂次方长度的区间最值，那么我们要怎么求任意区间的最值呢？

同样的，我们把区间分为两段，\([l,l+2^k-1]\)​​ 和 \([r-2^k+1,r]\)​​，这里k表示长度不超过\(r-l+1(查询区间的长度)\)​的倍增区间的倍增幂指数。重复的元素不会影响最大\最小值。

显然，查询的区间最值只需要在这两个子区间中求出最值即可，即:

\[Minimum = min(st[i][k], st[r-2^k+1][r]); \qquad k = log2(r-l+1) \]

Code

int query (int l, int r)
{
    int k = log2(r-l+1);
    return min(st[i][k], st[r-(1<<k)+1][k]);
}