K尾相等数

问题

对于一个自然数K（K>1），若存在自然数M和N（M>N），使得KM和KN均大于或等于1,000，且它们的末尾三位数相等，则称M和N是一对“K尾相等数”。

求M+N值最小的K尾相等数。

分析

一个数的幂随着指数的增长有无穷个，但是末尾的3位数最多有1000个（000-999），因此这些幂的位数一定会重复。在确定了第a次幂的尾数之后，第a+1的尾数也可以确定。因此当出现了第一个重复尾数的尾数时，我们就可以找的最小的M和N。

 

注意点

• K是一个自然数，可能大于1000，可能小于1000。在累乘时，真正对三位尾数有贡献的是后三位，即K % 1000，因此要对K进行预处理。
• 如果K小于1000，前几次幂很可能也小于1000，此时即便出现了重复的尾数，也不能采用。
• 确定尾数是否重复，要对之前在幂大于1000时出现过该尾数的下标进行记录。因为尾数只有1000个，因此开一个长度至少1000的数组记录即可。

代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

int tail[1001];

int main()
{
    memset(tail, 0, 1001);

    int K;
    cin >> K;

    int result = 1;
    int i = 0;
    bool moreThanEqual_1000 = false;
    int power = 0;

    // 预处理K，因为只有后三位有用
    if (K >= 1000)
    {
        K = K % 1000;
        moreThanEqual_1000 = true;
    }
       
    while (true)
    {
        power++;
        result = result * K;
        if (result >= 1000 || moreThanEqual_1000)
        {
            result %= 1000;
            moreThanEqual_1000 = true;
            if (tail[result] == 0)
            {
                tail[result] = power;
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
    }

    cout << tail[result] << " " << power << endl;

    return 0;
}

可以看到，假设M<N，则时间复杂度为O(N)。

 

Ref

郭嵩山老师算法课程