算法——数论（自然数、整除、公约数、同余、素数）

自然数和整数

　　自然数从0开始，每个自然数都有一个后继。如果一组关于自然数的命题对0成立，且对任意自然数都可以推导出对其后继成立，则该命题对全部自然数成立。（数学归纳法）

　　负整数∪自然数=整数

整除

如果一个整数a能被另一个整数d整除，记作d|a，这意味着存在某个整数k，使得a=kd。

• 如果d|a，则对于任意自然数k都有d|ka；
• 如果d|a且d|b，则d|(a±b)
• 如果a|b且b|a，则a=b

特殊的整除：

• 如果2能整除a的最末尾，则2|a；如果4能整除a的最后两位，则4|a，因为4|100；如果8能整除a的最后三位，则8|a，因为8|1000；……
• 如果5能整除a的最末尾，则5|a；如果25能整除a的最后两位，则25|a；如果125能整除a的最后3位，则125|a；……
• 如果3能整除a的个位数字之和，则3|a；如果9能整除a的各位数字之和，则9|a；
• 如果11能整除a的偶位数字之和与奇位数字之和的差，则11|a。

公约数和公倍数

• 如果d是a的约数且是b的约数，则d是a与b的最大公约数。
• 如果m是a的倍数并且也是b的倍数，则m是a与b的公倍数。

最大公约数

　　所有公约数中最大的一个，记作gcd(a,b)。

• • gcd(a, ka) = |a|;
  • 对任意整数a与b，如果d|a并且d|b，则d|gcd(a,b)
  • 对所有整数a和b以及任意非负整数n，gcd(an,bn)=n*gcd(a,b)
  • 对所有正整数d，a和b，如果d|ab并且gcd(a,d)=1，则d|b
  • 如果a=bq+r，则gcd(a,b)=gcd(b,r)

最小公倍数

　　所有公倍数中最小的那个，记作lcm(a,b)

• • lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

int gcd(int a, int b)
{
    if (b == 0)
    {
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

int lcm(int a, int b)
{
    if (a * b == 0)
    {
        return 0;
    }
    return a * b / gcd(a, b);
}

同余

　　设m是正整数，a，b是整数，如果m|(a-b)，则称a和b关于模m同余，记作a≡b(mod m)

同余的性质

• a≡a(mod m)【自反性】
• 如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)【交换性】
• 如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)，因为m|(a-b+b-c)【传递性】
• 如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m)【结合性】

• 如果a≡b(mod m)，则aⁿ≡bⁿ(mod m)，n∈N

• 如果ac≡bc(mod m)，则a≡b(mod (m/gcd(c,m))

• 如果a≡b(mod m)且d|m，则a≡b(mod d)【更小的约数】

• 如果a≡b(mod m)，则ad≡bd(mod m)【数乘】

• 如果a≡b(mod m_i)，i=1,2,…,n，l=lcm(m₁,m₂,…,m_n)，则a≡b(mod l)

• 如果p为素数，则a^p ≡ a(mod p)；如果gcd(a,p)=1，则a^p-1 ≡ 1(mod p)

素数

　　自然数中，除了1之外，只能被1和该数自身整除的数

• • 其他
  • 2是最小的素数
  • 2是唯一一个偶素数

　　筛法求素数

const int MAX = 10000;
bool prime[MAX + 1];

void searchprime()
{
    memset(prime, true, sizeof(prime));
    prime[1] = false;

    for (int i = 2; i <= (int)floor(sqrt(MAX)); ++i)
    {
        if (prime[i])
        {
            int j = i * 2;
　　　　　　　// 标记所有的i的倍数为非素数
            while (j <= MAX)
            {
                prime[j] = false;
                j += i;
            }
        }
    }
}

　　素数的判定

• • 原始的判定方法，根据素数的定义
  • 改进的判定方法1，x可以分解为两个整数a,b的积，即 x=a*b，a≤b，那么a ≤sqrt(x)
  • 改进的判定方法2，其实2到x的平方根中那些合数也是没有必要用来判断的。如果事先生成一个素数表，循环的次数还可以降低。利用素数表来求解。

bool method_1(int num)
{
    for (int i = 2; i < num; i++)
    {
        if (num % i == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

bool method_2(int num)
{
    int max = (int)floor(sqrt(num));
    for (int i = 2; i <= max; i++)
    {
        if (num % i == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

bool method_3(int num)
{
    int max = (int)floor(sqrt(num));
    int i = 0;
    while (list[i] <= num)
    {
        if (num % i == 0)
        {
            return false;
        }
        i++;
    }
    return true;
}