CSP-S 2019 划分

$\text {划分}$

将一个序列分为$m$段$(m$自己决定$)$并且每一段的和递增 求$\sum_{i=0}^m s_i ^ 2$

$s_i$为每一段的和

subtask1 $\text {期望得分 36pts}$

比较好想 $f[i][j]$表示最后一段尾部端点尾$i$ 头端点为$j$ 的最小代价

$$f[i][j] = max(f[j][k] + sqr((s[i] - s[j])))$$

subtask2 $\text {期望得分 64pts}$

可以优化一下枚举$i,j$然后二分找到$k$ 时间复杂度$O(n^2 \log n)$

subtask3 $\text {期望得分 64pts}$

可以证明如果一个区间大于前面的区间 且可以分为 $\text {a b (pre <= a <= b})$

那么将他分开一定是最优的 那么对于一个$i$ 我们去维护一个$f[i]$并且使得$s[i] - s[f[i]]$最小化 答案一定是最优的

我们可以$(n^2)$找到一个最优的$f[i]$然后就得到了$64pts$的高分

std $\text {期望得分 100pts}$

暴力$O(n ^ 2)$未免太暴力了 我们可以想满足条件 $s[i] - s[j] >= s[j] - s[f[j]]$

移项可得$s[i] >= s[j] * 2 - s[f[j]]$ 我们只需找到最后一个满足这个条件的值

然后$f[i] = j$就行了 这个东西可以用单调队列去写

int head = 1, tail = 1; 
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { 
	while (head < tail && calc (q[head + 1]) <= s[i]) head ++ ; 
	g[i] = q[head]; 
	while (head < tail && calc (q[tail]) >= calc (i)) tail -- ; 	
	q[++tail] = i; 
} 
for (int i = n; i >= 1; i = g[i]) ans = (ans + sqr (s[i] - s[g[i]]));

分析

$36$比较$\text{navie}$难度普及

$64$ 分析性质 难度提高

$100$ 用单调队列维护不难想 关键是前面一步的证明 难度提高+