[BZOJ3000]Big Number(斯特林公式)

求n!在k进制下的位数，n<=1e18

斯特林公式：$n!\approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$

在n很大的时候有较好的精度保证。

$\log_{k}n!+1=\frac{1}{2}\frac{\ln(2\pi n)}{\ln k}+n\frac{\ln n-\ln e}{\ln k}+1$

n较小时直接暴力求解即可。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
using namespace std;

const double pi=acos(-1.),e=exp(1),eps=1e-10;
int n,k;

int main(){
    while (~scanf("%d%d",&n,&k)){
        if (n<=1000){
            double ans=0;
            rep(i,1,n) ans+=log(i); ans/=log(k);
            printf("%d\n",(int)ceil(ans+eps));
        }else printf("%lld\n",(long long)(0.5*log(2*pi*n)/log(k)+n*(log(n)-log(e))/log(k)+1));
    }
    return 0;
}