[HDU2191]多重背包

多重背包暴力DP为$O(nV^2)$，n为物品个数，V为背包容量，二进制优化复杂度为$O(nV\log V)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
using namespace std;

const int N=1010;
int T,n,m,v,w,tot,f[N];

int main(){
    for (scanf("%d",&T); T--; ){
        scanf("%d%d",&m,&n);
        rep(i,0,m) f[i]=0;
        rep(i,1,n){
            scanf("%d%d%d",&v,&w,&tot);
            for (int j=1; tot>=j; tot-=j,j<<=1)
                for (int k=m; k>=j*v; k--) f[k]=max(f[k],f[k-j*v]+j*w);
            if (!tot) continue;
            for (int k=m; k>=tot*v; k--) f[k]=max(f[k],f[k-tot*v]+tot*w);
        }
        printf("%d\n",f[m]);
    }
    return 0;
}

单调队列优化复杂度为$O(nV)$。

单调队列的主要思想是从DP方程入手：$$f_{i+j\times v}=max\{f_{i+k\times v}+(j-k)\times w\}=max\{f_{i+k\times v}-k*w\}+j*w$$

v为当前物品的代价，w为价值。j-tot<=k<=j，tot为当前物品的个数。

发现所有转移都是在同一剩余系下做的，所以只要对每个剩余系分别维护一个单调队列即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
using namespace std;

const int N=1010;
int T,n,m,v,w,tot,q1[N],q2[N],f[N];

void DP(int v,int w,int tot){
    for (int i=0; i<v; i++){
        int st=0,ed=0; q1[0]=q2[0]=0;//单调队列，q1[]存队列内下标，q2[]存队列内的值
        for (int j=0; j<=(m-i)/v; j++){//f[i+j*v[i]]=max{f[i+k*v[i]]+k*w[i]}+j*w[i](j-tot<=k<=j)
            if (st<=ed && q1[st]<j-tot) st++;//j-tot<=k<=j
            int t=f[i+j*v]-j*w;//队列中存f[i+j*v]-j*w
            f[i+j*v]=max(f[i+j*v],q2[st]+j*w);//更新f[i+j*v]
            while (st<=ed && t>=q2[ed]) ed--;//将j放入队列
            q1[++ed]=j; q2[ed]=t;
        }
    }
}

int main(){
    freopen("hdu2191.in","r",stdin);
    freopen("hdu2191.out","w",stdout);
    for (scanf("%d",&T); T--; ){
        scanf("%d%d",&m,&n); int mx=0;
        rep(i,0,m) f[i]=0;
        rep(i,1,n) scanf("%d%d%d",&v,&w,&tot),DP(v,w,tot);
        rep(i,1,m) mx=max(mx,f[i]); printf("%d\n",mx);
    }
    return 0;
}