[NOI2015]小园丁与老司机(DP+上下界最小流)
由于每行点的个数不超过1000，所以行内DP可以使用$O(n^2)$算法。
先找到每个点所能直接到达的所有点（x,y,x+y或x-y相同），用排序实现。
第一问：以行为阶段，对于每行，暴力枚举最有路径在这行上的起点和终点，g[x]记录当这行的最优路径以x为起点时，终点应在什么位置，f[x]记录走到x且这一行以x为起点，之后最多还能走到多少个点。
第二问：由于当一行的起点和终点都确定后，决策也是确定的，故只需要沿着DFS一遍即可得到最优路径。
第三问：先考虑怎么找到所有可能在最优路径上的边，同样暴力枚举每行的起点和终点即可，注意处理(0,0)的情况。找到符合要求的边后，问题就是用最少的路径数覆盖这些边，使用有上下界的最小流求解。
1 #include<map> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) 5 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i]) 6 using namespace std; 7 8 const int N=50010,M=1000010,inf=1000000000; 9 bool va[N],vb[N]; 10 int n,mx,cnt=1,s0,ss,tt,S,T,d[N],f[N],h[N],dis[N],idx[N],q[N],cur[N],a[N],mp[N][6]; 11 int Lst[N],Nxt[N],pre[N],suf[N],premx[N],sufmx[N],to[M],fl[M],nxt[M],Do[N],Do2[N]; 12 struct P{ int x,y; }p[N]; 13 14 bool cmp1(int a,int b){ return (p[a].y==p[b].y) ? p[a].x<p[b].x : p[a].y<p[b].y; } 15 bool cmp2(int a,int b){ return (p[a].x==p[b].x) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x<p[b].x; } 16 bool cmp3(int a,int b){ return (p[a].x-p[a].y==p[b].x-p[b].y) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x-p[a].y<p[b].x-p[b].y; } 17 bool cmp4(int a,int b){ return (p[a].x+p[a].y==p[b].x+p[b].y) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x+p[a].y<p[b].x+p[b].y; } 18 bool cmp5(int a,int b){ return (p[a].y==p[b].y) ? p[a].x<p[b].x : p[a].y>p[b].y; } 19 20 inline void add(int u,int v,int w){ 21 to[++cnt]=v; fl[cnt]=w; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; 22 to[++cnt]=u; fl[cnt]=0; nxt[cnt]=h[v]; h[v]=cnt; 23 } 24 25 void work(int u,int v,int low,int high){ add(u,v,high-low); d[u]-=low; d[v]+=low; } 26 27 bool bfs(){ 28 rep(i,0,n+6) dis[i]=0; dis[S]=1; q[1]=S; 29 for (int st=0,ed=1; st<ed; ){ 30 int x=q[++st]; 31 For(i,x) if (fl[i] && !dis[k=to[i]]) dis[k]=dis[x]+1,q[++ed]=k; 32 } 33 return dis[T]; 34 } 35 36 int dfs(int x,int lim){ 37 if (x==T) return lim; 38 int c=0; 39 for (int i=cur[x],k; i; i=nxt[i]) 40 if (fl[i] && dis[k=to[i]]==dis[x]+1){ 41 int t=dfs(k,min(lim-c,fl[i])); 42 c+=t; fl[i]-=t; fl[i^1]+=t; 43 if (fl[i]) cur[x]=i; 44 if (c==lim) return lim; 45 } 46 if (!c) dis[x]=-1; 47 return c; 48 } 49 50 int dinic(){ 51 int res=0; 52 while (bfs()){ 53 rep(i,1,n+6) cur[i]=h[i]; 54 res+=dfs(S,inf); 55 } 56 return res; 57 } 58 59 void Print(int x){ 60 if (!x) return; 61 printf("%d ",x); 62 if (Do[x]==0) { Print(mp[x][Do2[x]]); return; } 63 if (idx[x]>idx[Do[x]]){ 64 int t=Do[x]; 65 for (int i=Nxt[x]; i; i=Nxt[i]) printf("%d ",i); 66 for (x=Lst[x]; x!=t; x=Lst[x]) printf("%d ",x); 67 printf("%d ",t); Print(mp[t][Do2[t]]); return; 68 } 69 if (idx[x]<idx[Do[x]]){ 70 int t=Do[x]; 71 for (int i=Lst[x]; i; i=Lst[i]) printf("%d ",i); 72 for (x=Nxt[x]; x!=t; x=Nxt[x]) printf("%d ",x); 73 printf("%d ",t); Print(mp[t][Do2[t]]); return; 74 } 75 } 76 77 void solve1(){ 78 rep(i,1,n) a[i]=i; 79 sort(a+1,a+n+1,cmp1); 80 rep(i,2,n) if (p[a[i-1]].y==p[a[i]].y) Lst[a[i]]=a[i-1],Nxt[a[i-1]]=a[i]; 81 sort(a+1,a+n+1,cmp2); 82 rep(i,2,n) if (p[a[i-1]].x==p[a[i]].x) mp[a[i-1]][1]=a[i]; 83 sort(a+1,a+n+1,cmp3); 84 rep(i,2,n) if (p[a[i-1]].x-p[a[i-1]].y==p[a[i]].x-p[a[i]].y) mp[a[i-1]][2]=a[i]; 85 sort(a+1,a+n+1,cmp4); 86 rep(i,2,n) if (p[a[i-1]].x+p[a[i-1]].y==p[a[i]].x+p[a[i]].y) mp[a[i-1]][3]=a[i]; 87 sort(a+1,a+n+1,cmp5); 88 rep(i,1,n) idx[a[i]]=i; 89 } 90 91 void W(int x){ 92 rep(i,1,3) if (mp[x][i]){ 93 int to=mp[x][i]; 94 if (f[to]+1>f[x]) Do2[x]=i,f[x]=f[to]+1; 95 } 96 } 97 98 int calc(int x,int y){ 99 return (idx[x]<idx[y]) ? pre[y]+f[mp[y][Do2[y]]] : suf[y]+f[mp[y][Do2[y]]]; 100 } 101 102 bool jud(P &p){ return p.x==0 || p.x==p.y || p.x==-p.y; } 103 104 void solve2(){ 105 rep(k,1,n) if (p[a[k]].y!=p[a[k-1]].y) pre[a[k]]=1; else pre[a[k]]=pre[a[k-1]]+1; 106 for (int k=n; k; k--) if (p[a[k]].y!=p[a[k+1]].y) suf[a[k]]=1; else suf[a[k]]=suf[a[k+1]]+1; 107 rep(k,1,n) if (p[a[k]].y!=p[a[k-1]].y){ 108 for (int x=a[k]; x; x=Nxt[x]) f[x]=1,W(x); 109 for (int x=a[k]; x; x=Nxt[x]) 110 for (int y=a[k]; y; y=Nxt[y]) 111 if (y!=x && calc(x,y)>f[x]) f[x]=calc(x,y),Do[x]=y; 112 } 113 rep(i,1,n) if (jud(p[i])) mx=max(mx,f[i]); 114 printf("%d\n",mx); 115 rep(i,1,n) if (f[i]==mx && jud(p[i])) { Print(i); break; } 116 puts(""); 117 } 118 119 int solve3(){ 120 rep(i,1,n) if (f[i]==mx && jud(p[i])) work(s0,i,1,inf),va[i]=1; 121 for (int i=n; i; i--) if (p[a[i]].y!=p[a[i+1]].y){ 122 for (int x=a[i]; x; x=Lst[x]) if (va[x]){ 123 if (f[mp[x][Do2[x]]]+1==f[x]) vb[x]=1; 124 for (int y=a[i]; y; y=Lst[y]) if (y!=x && calc(x,y)==f[x]) vb[y]=1; 125 } 126 for (int x=a[i]; x; x=Lst[x]) 127 if (vb[x]) rep(j,1,3) if (mp[x][j] && f[mp[x][j]]==f[mp[x][Do2[x]]]) 128 va[mp[x][j]]=1,work(x,mp[x][j],1,inf); 129 } 130 rep(i,1,n+1) work(ss,i,0,inf),work(i,tt,0,inf); 131 rep(i,1,n+1) if (d[i]>0) add(S,i,d[i]); else add(i,T,-d[i]); 132 add(tt,ss,inf); dinic(); S=tt; T=ss; return inf-dinic(); 133 } 134 135 int main(){ 136 freopen("driver.in","r",stdin); 137 freopen("driver.out","w",stdout); 138 scanf("%d",&n); s0=n+1; ss=n+2; tt=n+3; S=n+4; T=n+5; 139 rep(i,1,n) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); 140 solve1(); solve2(); printf("%d\n",solve3()); 141 return 0; 142 }
