[PKUSC2018]神仙的游戏(FFT)

给定一个01?串，对所有len询问是否存在一种填法使存在长度为len的border。

首先有个套路的性质：对于一个长度为len的border，这个字符串一定有长度为n-len的循环节（最后可以不完整）。

逆推得到，如果有一个0位置和一个1位置之差为len，则所有len的因数k的n-k都不可能成为border。

先将b翻转，作差卷起来，然后$O(n\log n)$枚举倍数即可。

$A(x)=x^{n-1}A(\frac 1x)$是作差卷积的本质。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
using namespace std;

const int N=3000010,mod=998244353,G=3;
int n,len,l,a[N],b[N],rev[N],lg[N];
char s[N];

int ksm(int a,int b){
    int res=1;
    for (; b; a=1ll*a*a%mod,b>>=1)
        if (b & 1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}

void NTT(int a[],int n,int f){
    for (int i=0; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int i=1; i<n; i<<=1){
        int wn=ksm(G,(f==1) ? (mod-1)/(i<<1) : (mod-1)-(mod-1)/(i<<1));
        for (int p=i<<1,j=0; j<n; j+=p)
            for (int w=1,k=0; k<i; k++,w=1ll*w*wn%mod){
                int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod; a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
    }
    if (f==1) return;
    int inv=ksm(n,mod-2);
    for (int i=0; i<n; i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
}

int main(){
    freopen("pkub.in","r",stdin);
    freopen("pkub.out","w",stdout);
    scanf("%s",s); n=strlen(s);
    for (len=1; len<=(n<<1); len<<=1) l++;
    for (int i=0; i<len; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for (int i=0; i<n; i++) a[i]=s[i]=='0',b[i]=s[n-i-1]=='1';
    NTT(a,len,1); NTT(b,len,1);
    for (int i=0; i<len; i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,len,-1);
    long long ans=1ll*n*n;
    for (int i=1; i<n; i++){
        int f=1;
        for (int j=i; j<n; j+=i) if (a[n-j-1]|a[n+j-1]) { f=0; break; }
        if (f) ans^=1ll*(n-i)*(n-i);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}