[BZOJ2142]礼物(扩展Lucas)
2142: 礼物
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一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。Input
输入的第一行包含一个正整数P，表示模；第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。Output
若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。
Sample Input
100
4 2
1
2
Sample Output
12
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。
HINT
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数论大集合。
https://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/54571216
答案显然$C_n^{n - w[1]}C_{n - w[1]}^{w[2]}C_{n - w[1] - w[2]}^{w[3]}......$，模数不互质成为难点。
扩展Lucas：将模数质因数分解，再用CRT合并。
问题就只剩下求$n!\%p_i^{k_i}$了。
首先由于不互质无法找到逆元，把$n!$中的$p_i$全部取出来：$ans=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^2} \rfloor+\lfloor\frac{n}{p^3}\rfloor+...$
然后考虑剩下部分怎么做，用$F(n,p_i,p_i^{k_i})$表示答案，$f(n,p_i,p_i^{k_i})$表示$\prod_{j=1,j\perp p_i}^{n}j(mod\ p_i^{k_i})$，则：
$F(n,p_i,p_i^{k_i})=\lfloor\frac{n}{p_i}\rfloor!\times p_i^{\lfloor\frac{n}{p_i}\rfloor}\times f(p_i^{k_i},p_i,p_i^{k_i})^{\lfloor\frac{n}{p_i^{k_i}}\rfloor}\times f(n\%p_i^{k_i})\%p_i^{k_i}$
递归处理即可，要用到exgcd。
复杂度好像是，$O(\sqrt{P}+m\log_{2}^{2}p_i^{k_i}\log{p_i})$不过肯定跑不满。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 4 typedef long long ll; 5 using namespace std; 6 7 const int N=10010; 8 ll mod,n,m,w[10],ans,x,y,Mod[N],st[N],r[N],num; 9 10 ll ksm(ll a,ll b,ll p){ 11 ll res; 12 for (res=1; b; a=a*a%p,b>>=1) 13 if (b&1) res=res*a%p; 14 return res; 15 } 16 17 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ 18 ll d=a; 19 if (b) d=exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; else x=1,y=0; 20 return d; 21 } 22 23 ll inv(ll t,ll p){ ll x,y; exgcd(t,p,x,y); return (x+p)%p; } 24 25 ll F(ll n,ll pi,ll pk){ 26 if (!n) return 1; 27 ll ans=1; 28 rep(i,2,pk) if (i%pi) ans=ans*i%pk; 29 ans=ksm(ans,n/pk,pk); 30 rep(i,2,n%pk) if (i%pi) ans=ans*i%pk; 31 return ans*F(n/pi,pi,pk)%pk; 32 } 33 34 ll exlucas(ll n,ll m,ll pi,ll pk){ 35 if (m>n) return 0; 36 ll a=F(n,pi,pk),b=F(m,pi,pk),c=F(n-m,pi,pk); 37 ll k=0; 38 for (ll i=n; i; i/=pi) k+=i/pi; 39 for (ll i=m; i; i/=pi) k-=i/pi; 40 for (ll i=n-m; i; i/=pi) k-=i/pi; 41 return a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*ksm(pi,k,pk)%pk; 42 } 43 44 ll CRT(ll n,ll r[],ll m[]){ 45 ll M=1,res=0,w; 46 rep(i,1,n) M*=m[i]; 47 rep(i,1,n) w=M/m[i],res=(res+w*inv(w,m[i])*r[i])%M; 48 return (res+M)%M; 49 } 50 51 ll par(ll n,ll m[],ll st[]){ 52 ll num=0; 53 for (ll i=2; i*i<=n; i++) if (n%i==0){ 54 ll pk=1; 55 while (n%i==0) pk*=i,n/=i; 56 m[++num]=pk; st[num]=i; 57 } 58 if (n>1) m[++num]=n,st[num]=n; 59 return num; 60 } 61 62 ll excomb(ll n,ll m){ 63 rep(i,1,num) r[i]=exlucas(n,m,st[i],Mod[i]); 64 return CRT(num,r,Mod); 65 } 66 67 int main(){ 68 freopen("bzoj2142.in","r",stdin); 69 freopen("bzoj2142.out","w",stdout); 70 scanf("%lld\n",&mod); scanf("%lld%lld",&n,&m); 71 ll sum=0; rep(i,1,m) scanf("%lld",&w[i]),sum+=w[i]; 72 if (n<sum){ puts("Impossible"); return 0; } 73 num=par(mod,Mod,st); ans=1; 74 rep(i,1,m) n-=w[i-1],ans=ans*excomb(n,w[i])%mod; 75 printf("%lld\n",ans); 76 return 0; 77 }
