[BZOJ3745][COCI2015]Norma(分治)

3745: [Coci2015]Norma

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Description

Input

第1行，一个整数N；

第2~n+1行，每行一个整数表示序列a。

Output

输出答案对10^9取模后的结果。

Sample Input

4
2
4
1
4

Sample Output

109

【数据范围】
N <= 500000
1 <= a_i <= 10^8

HINT

Source

鸣谢 Dzy

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分治（可以用线段树做，一般分治都是用来代替数据结构的）一般分三种：

　　1.CDQ分治，在高维偏序中用来处理一维。 （处理在线修改多询问问题）

　　2.线段树分治，当修改可分裂可撤销时较有效。（处理离线修改全询问问题）

　　3.二分或三分，处理单调或单峰函数极值问题时有效。（处理在线修改多询问问题）

　　4.“mid型”，类似树分治，统计跨过mid的区间总数，然后递归道两边继续统计。（处理无修改全询问问题）

具体到这一题，显然是最后一种方法。

https://blog.csdn.net/lych_cys/article/details/51203960

分类讨论一波，处理各种前缀和即可。

不想考虑取模和炸int的问题的话就在确定正确性之前全用long long吧。。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=500100,mod=1000000000;
int n,ans,a[N],f[N],g[N],Min[N],Max[N],Smn[N],Smx[N],Mmn[N],Mmx[N];

int sum(int l,int r){ return (1ll*(l+r)*(r-l+1)>>1)%mod; }

void solve(int l,int r){
    if (l==r) { ans=(ans+1ll*a[l]*a[l])%mod; return; }
    int mid=(l+r)>>1; int mn=mod,mx=-mod;
    solve(l,mid); solve(mid+1,r);
    for (int i=mid; i>=l; i--) Min[i]=mn=min(mn,a[i]),Max[i]=mx=max(mx,a[i]);
    
    mn=mod,mx=-mod;
    g[mid]=f[mid]=Smn[mid]=Smx[mid]=Mmn[mid]=Mmx[mid]=0;
    rep(i,mid+1,r){
        Min[i]=mn=min(mn,a[i]); Max[i]=mx=max(mx,a[i]);//min/max
        Smn[i]=(Smn[i-1]+Min[i])%mod; Smx[i]=(Smx[i-1]+Max[i])%mod;//sufsum of min/max
        Mmn[i]=(Mmn[i-1]+1ll*Min[i]*i)%mod; Mmx[i]=(Mmx[i-1]+1ll*Max[i]*i)%mod;//sufsum of i*min/max
        g[i]=(g[i-1]+1ll*mn*mx)%mod; f[i]=(f[i-1]+1ll*i*mn%mod*mx)%mod;//sufsum of min*max && sufsum of i*min*max
    }
    
    int j=mid,k=mid;
    for (int i=mid; i>=l; i--){
        while (j<r && Min[i]<a[j+1]) j++;
        while (k<r && Max[i]>a[k+1]) k++;
        ans=(ans+1ll*Min[i]*Max[i]%mod*sum(mid-i+2,min(j,k)-i+1))%mod;//[mid+1,min(j,k)]
        ans=((ans+f[r]-f[max(j,k)]-1ll*(g[r]-g[max(j,k)])*(i-1)%mod)%mod+mod)%mod;//[max(j+k)+1,r]
        if (j<k) ans=(ans+1ll*Max[i]*(Mmn[k]-Mmn[j]-1ll*(i-1)*(Smn[k]-Smn[j])%mod)%mod+mod)%mod;//[j+1,k]    
            else  ans=(ans+1ll*Min[i]*(Mmx[j]-Mmx[k]-1ll*(i-1)*(Smx[j]-Smx[k])%mod)%mod+mod)%mod;//[k+1,j]
    }
}

int main(){
    freopen("bzoj3745.in","r",stdin);
    freopen("bzoj3745.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    solve(1,n); printf("%d\n",ans);
    return 0;
}