[Nescafé41]编码病毒(循环卷积)

题意看起来好麻烦实际上很简单，首先4s可以先bitset暴力一下，听说卡卡就能过：$O(2^{22}+n^2/32)$

#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
using namespace std;

const int N=100100,inf=0x3f3f3f3f;
bitset<N>data,test;
int n,m,ans,cost[N],cnt[4194314];
char s[N];

int main(){
    freopen("virus.in","r",stdin);
    freopen("virus.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&m,&n); int t=(1<<m)-1; ans=inf;
    memset(cost,0x3f,sizeof(cost)); cost[0]=0;
    rep(i,1,t){
        cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
        cost[i%n]=min(cost[i%n],cnt[i]+1);
        cost[((n-i)%n+n)%n]=min(cost[((n-i)%n+n)%n],cnt[i]);
    }
    scanf("%s",s); rep(i,0,n) data[i]=s[i]=='1';
    scanf("%s",s); rep(i,0,n) test[i]=s[i]=='1';
    for (int i=0; i<n; i++){
        if (i) { int j=data[0]; data>>=1; data[n-1]=j; }
        int j=(data^test).count();
        ans=min(ans,min(j,n-j+1)+cost[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

然后我们观察一下我们的这个暴力到底在做什么事情，发现后面的主循环实际上就是一个类似循环卷积的问题，我们要把它变成真正的卷积。

观察异或真值表：

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

我们变换一下：把a中0位上的值变成-1，1位上的值变成1，b中相反，于是就有：

0 0 1

0 1 -1

1 0 -1

1 1 1

最后我们将所有结果加1，再除以2，就变成上面的那个表了，这就成功将循环异或变成了循环卷积，直接做即可。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<complex>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
using namespace std;
typedef complex<double> C;
const int N=600100,inf=0x3f3f3f3f;
const double pi=acos(-1.);
char s[N];
int n,m,k,ans,cost[N],rev[N],cnt[4194314],data[N],test[N],c[N];

C a[N],b[N];

void DFT(C a[],int n,int f){
    for (int i=0; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int i=1; i<n; i<<=1){
        C wn=C(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        for (int p=i<<1,j=0; j<n; j+=p){
            C w=C(1,0);
            for (int k=0; k<i; k++,w=w*wn){
                C x=a[j+k],y=a[i+j+k]*w; a[j+k]=x+y; a[i+j+k]=x-y;
            }
        }
    }
    if (f==-1) for (int i=0; i<n; i++) a[i].real()/=n;
}

void mul(int test[],int data[],int res[],int m){
    int n,L=0;
    for (n=1; n<=m; n<<=1) L++;
    for (int i=0; i<n; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    for (int i=0; i<n; i++) a[i]=C((double)test[i],0),b[i]=C((double)data[i],0);
    DFT(a,n,1); DFT(b,n,1); for (int i=0; i<n; i++) a[i]=a[i]*b[i]; DFT(a,n,-1);
    m/=3; for (int i=0; i<m; i++) res[i]=int(a[i+m-1].real()+0.5);
}

int main(){
    freopen("virus.in","r",stdin);
    freopen("virus.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&m,&n); int t=(1<<m)-1; ans=inf;
    memset(cost,0x3f,sizeof(cost)); cost[0]=0;
    rep(i,1,t){
        cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
        cost[i%n]=min(cost[i%n],cnt[i]+1);
        cost[((n-i)%n+n)%n]=min(cost[((n-i)%n+n)%n],cnt[i]);
    }
    scanf("%s",s); for (int i=0; i<n; i++) data[i]=data[i+n]=((s[i]=='1')?1:-1);
    scanf("%s",s); for (int i=0; i<n; i++) test[n-i-1]=((s[i]=='1')?1:-1);
    mul(test,data,c,3*n);
    for (int i=0; i<n; i++) k=(c[i]+n)>>1,ans=min(ans,cost[i]+min(k+1,n-k));
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}