[Nescafé41]异化多肽(多项式求逆元)

2015年的题，应该是将形式幂级数引入国内的元老级题目。

大意：给定一个大小为m的正整数序列和n，问有多少种选法可以凑成n，每个数可以选多次，种类不同算不同方案。$n,m,C \leqslant 100000$

首先处理出生成函数$C$，设答案的形式幂级数为$F$，有递推式$F_n=\sum F_{n-k}*C_k$。
因为这个问题，导致完全不可以用分治解决了。所以我们重新从$C$的角度考虑：
角度一：$$F=1+C+C^2+C^3+...=\frac{1-C^\infty}{1-C}$$角度二：$$F=FC+1$$最后都有：$$F=\frac{1}{1-C}$$
这样就是一个裸的多项式求逆问题了。
模数$1005060097$的原根是$5$。多项式有无逆元取决于其常数项有无逆元，显然这题正好保证了$1-C$的常数项为$1$
再次提醒：次数界开两倍，复杂度：$$T(n)=O(n\log n)+T(n/2)=O(n\log n)$$不过基于常数问题还是不要把它看成一个$log$比较好。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
using namespace std;

const int N=400100,mod=1005060097,g=5;
int n,m,x,rev[N],tmp[N],a[N],b[N],c[N],ic[N],lg[N];

int ksm(int a,int b){
    int res;
    for (res=1; b; a=1ll*a*a%mod,b>>=1)
        if (b & 1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}

void DFT(int a[],int n,int f){
    for (int i=0; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int i=1; i<n; i<<=1){
        int wn=ksm(g,(f==1) ? (mod-1)/(i<<1) : (mod-1)-(mod-1)/(i<<1));
        for (int p=i<<1,j=0; j<n; j+=p){
            int w=1;
            for (int k=0; k<i; k++,w=1ll*w*wn%mod){
                int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%mod; a[j+k]=(x+y)%mod; a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if (f==1) return;
    int inv=ksm(n,mod-2);
    for (int i=0; i<n; i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
}

void get(int a[],int b[],int l){
    if (l==1){ b[0]=ksm(a[0],mod-2); return; }
    get(a,b,l>>1); int n=l<<1;
    for (int i=0; i<l; i++) tmp[i]=a[i],tmp[i+l]=0;
    for (int i=0; i<n; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg[n]-1));
    DFT(tmp,n,1); DFT(b,n,1);
    for (int i=0; i<n; i++) tmp[i]=1ll*b[i]*(2-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
    DFT(tmp,n,-1);
    for (int i=0; i<l; i++) b[i]=tmp[i],b[i+l]=0;
}

int main(){
    freopen("polypeptide.in","r",stdin);
    freopen("polypeptide.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m); c[0]=1;
    rep(i,2,n<<2) lg[i]=lg[i>>1]+1;
    rep(i,1,m) scanf("%d",&x),c[x]++;
    rep(i,1,n) c[i]=mod-c[i];
    for (m=1; m<=n; m<<=1); get(c,ic,m);
    printf("%d\n",ic[n]);
    return 0;
}