[BZOJ5251][九省联考2018]劈配(网络流)
5251: [2018多省省队联测]劈配
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一年一度的综艺节目《中国新代码》又开始了。Zayid从小就梦想成为一名程序员，他觉得这是一个展示自己的舞台，于是他毫不犹豫地报名了。题目描述轻车熟路的Zayid顺利地通过了海选，接下来的环节是导师盲选，这一阶段的规则是这样的：总共n名参赛选手（编号从1至n）每人写出一份代码并介绍自己的梦想。接着由所有导师对这些选手进行排名。为了避免后续的麻烦，规定不存在排名并列的情况。同时，每名选手都将独立地填写一份志愿表，来对总共m位导师（编号从1至m）作出评价。志愿表上包含了共m档志愿。对于每一档志愿，选手被允许填写最多C位导师，每位导师最多被每位选手填写一次（放弃某些导师也是被允许的）。在双方的工作都完成后，进行录取工作。每位导师都有自己战队的人数上限，这意味着可能有部分选手的较高志愿、甚至是全部志愿无法得到满足。节目组对”前i名的录取结果最优“作出如下定义：前1名的录取结果最优，当且仅当第1名被其最高非空志愿录取（特别地，如果第1名没有填写志愿表，那么该选手出局）。前i名的录取结果最优，当且仅当在前i-1名的录取结果最优的情况下：第i名被其理论可能的最高志愿录取（特别地，如果第i名没有填写志愿表、或其所有志愿中的导师战队均已满员，那么该选手出局）。如果一种方案满足‘‘前n名的录取结果最优’’，那么我们可以简称这种方案是最优的。举例而言，2位导师T老师、F老师的战队人数上限分别都是1人；2位选手Zayid、DuckD分列第1、2名。那么下面3种志愿表及其对应的最优录取结果如表中所示：可以证明，对于上面的志愿表，对应的方案都是唯一的最优录取结果。每个人都有一个自己的理想值si，表示第i位同学希望自己被第si或更高的志愿录取，如果没有，那么他就会非常沮丧。现在，所有选手的志愿表和排名都已公示。巧合的是，每位选手的排名都恰好与它们的编号相同。对于每一位选手，Zayid都想知道下面两个问题的答案：在最优的录取方案中，他会被第几志愿录取。在其他选手相对排名不变的情况下，至少上升多少名才能使得他不沮丧。作为《中国新代码》的实力派代码手，Zayid当然轻松地解决了这个问题。不过他还是想请你再算一遍，来检验自己计算的正确性。Input
每个测试点包含多组测试数据第一行2个用空格隔开的非负整数T;C，分别表示数据组数、每档志愿最多允许填写的导师数目。接下来依次描述每组数据，对于每组数据：第1行两个用空格隔开的正整数n;m。n;m分别表示选手的数量、导师的数量。第2行m个用空格隔开的正整数：其中第i个整数为bi。Bi表示编号为i的导师战队人数的上限。第3行至第n+2行，每行m个用空格隔开的非负整数：其中第i+2行左起第j个数为ai,jai,j表示编号为i的选手将编号为j的导师编排在了第ai,j志愿。特别地，如果ai,j=0，则表示该选手没有将该导师填入志愿表。在这一部分，保证每行中不存在某一个正数出现超过C次（0可能出现超过C次），同时保证所有ai,j<=m。第n+3行n个用空格隔开的正整数，其中第i个整数为SiSi表示编号为i的选手的理想值。在这一部分，保证Si<=m。T<=5,m<=n<=200,Bi<=NOutput
按顺序输出每组数据的答案。对于每组数据，输出2行：第1行输出n个用空格隔开的正整数，其中第i个整数的意义为：在最优的录取方案中，编号为i的选手会被该档志愿录取。特别地，如果该选手出局，则这个数为m+1。第2行输出n个用空格隔开的非负整数，其中第i个整数的意义为：使编号为i的选手不沮丧，最少需要让他上升的排名数。特别地，如果该选手一定会沮丧，则这个数为i。Sample Input
3 5
2 2
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
1 1
1 2
1 2
2 1
2 2
1 1
0 1
0 1
2 2Sample Output
2 1
1 0
1 2
0 1
1 3
0 1
三组数据分别与【题目描述】中的三个表格对应。
对于第1 组数据：由于选手1 没有填写第一志愿，所以他一定无法被第一志愿录取，也就一定会沮丧。
选手2 按原排名就不沮丧，因此他不需要提升排名。
对于第2 组和第3 组数据：1 号选手都不需要提升排名。
而希望被第一志愿录取 的2 号选手都必须升到第1 名才能如愿。HINT
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D2唯一有区分度的题。。正解好像有4种，下面说一个Dinic做法。
首先如果你非常巧妙地避开了所有有关二分图和网络流的思路，你也可以通过各种数据分治拿到70分，但是码量感觉不可想象。
先之考虑第一问，第二问实在不行二分答案或者暴力枚举跑m次第一问就好。
看原题面可以看到b[i]=1的50分，这启发我们想到二分图，因为每个选手对应一位导师，而匈牙利算法正好保证了每次增广都保证前面的选手都能匹配上。那么b[i]>1的怎么处理呢？不就是网络流嘛，直接将导师的点向汇点连容量为b[i]的边就好了。
考虑具体做法，对于当前考虑的选手，每次向一组导师全部连边，如果增广成功则考虑下一个选手。
怎么证明是对的呢？首先我们知道网络流每次能够增广当且仅当流量能变大，所以在增广这个点的同时不可能让前面所有的选手找不到匹配，所以我们一边加边一边跑Dinic即可。
至于第二问，第一反应肯定是二分答案然后暴力重建图，这样好像是可以过的，但是我们可以先连上所有这个点的边，然后从第一名开始增广，知道找不到增广则停止，这样复杂度就和上面第一问同阶了。$O(f(n,n^2)n)$，其中$f(n,m)$表示n个点m条边的二分图匹配的复杂度，也就是$O(nm)$，实际上跑不满。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #include<vector> 5 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 6 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i]) 7 using namespace std; 8 9 const int N=410,M=80100,inf=1000000000; 10 int n,m,k,cas,ans,cnt,S,T,b[N],dis[N],h[N],q[M],nxt[M],to[M],f[M],res[N]; 11 vector<int>V[N][N]; 12 13 void add(int u,int v,int w){ 14 to[++cnt]=v; f[cnt]=w; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; 15 to[++cnt]=u; f[cnt]=0; nxt[cnt]=h[v]; h[v]=cnt; 16 } 17 18 void init(){ 19 cnt=1; S=n+m+1; T=n+m+2; 20 memset(h,0,sizeof(h)); 21 rep(i,1,n) add(S,i,1); 22 rep(i,1,m) add(i+n,T,b[i]); 23 } 24 25 bool bfs(){ 26 rep(i,0,T) dis[i]=0; 27 dis[S]=1; q[1]=S; 28 for (int st=0,ed=1; st!=ed; ){ 29 int x=q[++st]; 30 For(i,x) if (!dis[k=to[i]] && f[i]) 31 dis[k]=dis[x]+1,q[++ed]=k; 32 } 33 return dis[T]; 34 } 35 36 int dfs(int x,int lim){ 37 if (x==T) return lim; 38 int c=0; 39 For(i,x) if (dis[k=to[i]]==dis[x]+1 && f[i]){ 40 int t=dfs(k,min(lim-c,f[i])); 41 f[i]-=t; f[i^1]+=t; c+=t; 42 if (c==lim) return lim; 43 } 44 if (!c) dis[x]=-1; 45 return c; 46 } 47 48 bool work(int x,int l,int r){ 49 rep(i,l,r) rep(j,0,(int)V[x][i].size()-1) add(x,V[x][i][j]+n,1); 50 if (bfs()) { dfs(S,inf); return 1; } 51 return 0; 52 } 53 54 int main(){ 55 for (scanf("%d%*d",&cas); cas--; ){ 56 scanf("%d%d",&n,&m); 57 rep(i,1,m) scanf("%d",&b[i]); 58 rep(i,1,n) rep(j,1,m) V[i][j].clear(); 59 rep(i,1,n) rep(j,1,m) scanf("%d",&k),V[i][k].push_back(j); 60 init(); 61 rep(i,1,n){ 62 for (res[i]=1; res[i]<=m; res[i]++) if (work(i,res[i],res[i])) break; 63 printf("%d ",res[i]); 64 } 65 puts(""); 66 rep(i,1,n){ 67 scanf("%d",&k); ans=i; init(); 68 if (!work(i,1,k)) { printf("%d ",i); continue; } 69 for (int j=1; --ans; j++){ 70 if (res[j]>m) continue; 71 if (!work(j,res[j],res[j])) break; 72 } 73 printf("%d ",ans); 74 } 75 puts(""); 76 } 77 return 0; 78 }
