[BZOJ1937][SHOI2004]Mst最小生成树(KM算法,最大费用流)
1937: [Shoi2004]Mst 最小生成树
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[Submit][Status][Discuss]Description
Input
第 一行为N、M，其中 表示顶点的数目， 表示边的数目。顶点的编号为1、2、3、……、N-1、N。接下来的M行，每行三个整数Ui，Vi，Wi，表示顶点Ui与Vi之间有一条边，其权值为 Wi。所有的边在输入中会且仅会出现一次。再接着N-1行，每行两个整数Xi、Yi，表示顶点Xi与Yi之间的边是T的一条边。
Output
输出最小权值
Sample Input
6 9
1 2 2
1 3 2
2 3 3
3 4 3
1 5 1
2 6 3
4 5 4
4 6 7
5 6 6
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6
Sample Output
8
【样例说明】
边(4,6)的权由7修改为3，代价为4
边(1,2)的权由2修改为3，代价为1
边(1,5)的权由1修改为4，代价为3
所以总代价为4+1+3=8
修改方案不唯一。HINT
1<=n<=50,1<=m<=800,1<=wi<=1000
n-->点数..m-->边数..wi--->边权Source
[Submit][Status][Discuss]
注意到我们只可能增大树边，减小非树边，那么设每条边的改动幅度为$|d[i]|$，那么对于一条树边i和非树边j，必有$w[i]-d[i] \leqslant w[j]+d[j]$，即$w[i]-w[j] \leqslant d[i]+d[j]$。于是我们把边看作点，按是否为树边将所有边分成二分图，树边i与非树边j的边设为w[i]-w[j]。可以发现d[i]实际上就是KM算法中的顶标。所以求一次KM算法并将所有匹配相加就是答案，因为不在匹配里的d[i]直接作为0即可。
重新复习一下KM算法。先将X部分的d[x]设为$max\{w[x][y]\}$，Y部分的d[y]设为0，然后求m次增广（直到有完备匹配）。每次增广如果失败，则设$mn=min\{a[i]+b[j]-w[i][j]\}$，将所有交错树上的d[x]+=mn,d[y]-=mn。
理论依据：若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i][j]的边<i,j>构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。所以这是一个不断修改顶标并在相等子图上做完备匹配的过程。（任意i,j保证$d[i]+d[j] \geqslant w[i][j]$）。
定理：每次增广顶标和必然变小，最后一定是满足$d[i]+d[j] \geqslant w[i][j]$的最小可能。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define mem(a,k) memset(a,k,sizeof(a)) 5 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) 6 using namespace std; 7 8 const int N=2000100,inf=0x3f3f3f3f; 9 int n,m,u,v,ww,x,y,ans; 10 int mp[60][60],w[1010][1010],lk[1010],lx[1010],ly[1010],vx[1010],vy[1010],s[1010],dep[60],fa[60][12]; 11 bool chk[60][60]; 12 struct E{ int u,v,w;}e[1010]; 13 14 void dfs(int x,int f){ 15 fa[x][0]=f; dep[x]=dep[f]+1; 16 rep(i,1,10) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; 17 rep(i,1,n) if (i!=f && chk[x][i]) dfs(i,x); 18 } 19 20 int LCA(int x,int y){ 21 if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); 22 int t=dep[x]-dep[y]; 23 for (int i=10; ~i; i--) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i]; 24 if (x==y) return x; 25 for (int i=10; ~i; i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; 26 return fa[x][0]; 27 } 28 29 bool find(int x){ 30 vx[x]=1; 31 rep(y,1,m) if (!vy[y]){ 32 int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y]; 33 if (t==0){ 34 vy[y]=1; if (lk[y]==-1 || find(lk[y])) { lk[y]=x; return 1; } 35 }else s[y]=min(s[y],t); 36 } 37 return 0; 38 } 39 40 void KM(){ 41 mem(lk,-1); mem(lx,-inf); mem(ly,0); 42 rep(i,1,m) rep(j,1,m) lx[i]=max(lx[i],w[i][j]); 43 rep(x,1,m){ 44 rep(i,1,m) s[i]=inf; 45 while (1){ 46 mem(vx,0); mem(vy,0); 47 if (find(x)) break; 48 int d=inf; 49 rep(i,1,m) if (!vy[i]) d=min(d,s[i]); 50 rep(i,1,m) if (vx[i]) lx[i]-=d; 51 rep(i,1,m) if (vy[i]) ly[i]+=d; else s[i]-=d; 52 } 53 } 54 rep(i,1,m) if (lk[i]!=-1) ans+=w[lk[i]][i]; 55 } 56 57 int main(){ 58 scanf("%d%d",&n,&m); 59 rep(i,1,m) scanf("%d%d%d",&u,&v,&ww),e[i]=(E){u,v,ww},mp[u][v]=mp[v][u]=i; 60 rep(i,2,n) scanf("%d%d",&x,&y),chk[x][y]=chk[y][x]=1; 61 dfs(1,0); 62 rep(i,1,m){ 63 int x=e[i].u,y=e[i].v,lca=LCA(x,y); 64 if (!chk[x][y]){ 65 while (x!=lca) w[mp[x][fa[x][0]]][i]=e[mp[x][fa[x][0]]].w-e[i].w,x=fa[x][0]; 66 while (y!=lca) w[mp[y][fa[y][0]]][i]=e[mp[y][fa[y][0]]].w-e[i].w,y=fa[y][0]; 67 } 68 } 69 KM(); printf("%d\n",ans); 70 return 0; 71 }
好久没写最大费用最大流了发现自己完全不会写，调了整整一上午。需要注意：dis[]初始要赋为-inf，bfs()返回真的条件是dis[T]>0，其余不变。因为边里会有负值。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 5 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i]) 6 typedef long long ll; 7 using namespace std; 8 9 const int N=2000100,inf=0x3f3f3f3f; 10 int n,m,u,v,w,x,y,S,T,mn,cnt=1,ans; 11 int to[N],f[N],c[N],nxt[N],h[1010],pre[1010],dis[1010],q[N]; 12 int mp[60][60],dep[60],fa[60][12]; 13 bool inq[N],chk[60][60]; 14 struct E{ int u,v,w;}e[1010]; 15 16 void add(int u,int v,int w,int co){ 17 to[++cnt]=v; f[cnt]=w; c[cnt]=co; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; 18 to[++cnt]=u; f[cnt]=0; c[cnt]=-co; nxt[cnt]=h[v]; h[v]=cnt; 19 } 20 21 bool spfa(){ 22 rep(i,0,T) dis[i]=-inf,pre[i]=-1,inq[i]=0; 23 dis[S]=0; inq[S]=1; q[1]=S; 24 for (int st=0,ed=1; st!=ed; ){ 25 int x=q[++st]; inq[x]=0; 26 For(i,x) if (f[i] && dis[k=to[i]]<dis[x]+c[i]){ 27 dis[k]=dis[x]+c[i]; pre[k]=i; 28 if (!inq[k]) inq[k]=1,q[++ed]=k; 29 } 30 } 31 return dis[T]>0; 32 } 33 34 void mcmf(){ 35 for (ans=0; spfa(); ans+=dis[T]*mn){ 36 mn=inf; 37 for (int i=pre[T]; ~i; i=pre[to[i^1]]) mn=min(mn,f[i]); 38 for (int i=pre[T]; ~i; i=pre[to[i^1]]) f[i]-=mn,f[i^1]+=mn; 39 } 40 } 41 42 void dfs(int x,int f){ 43 fa[x][0]=f; dep[x]=dep[f]+1; 44 rep(i,1,10) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; 45 rep(i,1,n) if (i!=f && chk[x][i]) dfs(i,x); 46 } 47 48 int LCA(int x,int y){ 49 if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); 50 int t=dep[x]-dep[y]; 51 for (int i=10; ~i; i--) if (t&(1<<i)) x=fa[x][i]; 52 if (x==y) return x; 53 for (int i=10; ~i; i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; 54 return fa[x][0]; 55 } 56 57 int main(){ 58 freopen("bzoj1937.in","r",stdin); 59 freopen("bzoj1937.out","w",stdout); 60 scanf("%d%d",&n,&m); 61 rep(i,1,m) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),e[i]=(E){u,v,w},mp[u][v]=mp[v][u]=i; 62 rep(i,2,n) scanf("%d%d",&x,&y),chk[x][y]=chk[y][x]=1; 63 dfs(1,0); S=m+1; T=m+2; 64 rep(i,1,m){ 65 int x=e[i].u,y=e[i].v; 66 if (chk[x][y]) add(S,i,1,0); 67 else{ 68 add(i,T,1,0); int lca=LCA(x,y); 69 while (x!=lca) add(mp[x][fa[x][0]],i,1,e[mp[x][fa[x][0]]].w-e[i].w),x=fa[x][0]; 70 while (y!=lca) add(mp[y][fa[y][0]],i,1,e[mp[y][fa[y][0]]].w-e[i].w),y=fa[y][0]; 71 } 72 } 73 mcmf(); printf("%d\n",ans); 74 return 0; 75 }
