置换群学习笔记

群论是数学分支之一，在OI中的运用主要在于置换群和Burnside引理，polya定理。

http://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/72639208

http://blog.csdn.net/gengmingrui/article/details/50564027

http://www.cnblogs.com/candy99/category/955780.html

https://files.cnblogs.com/files/HocRiser/Burnside.pdf

首先介绍群的概念

群是一个集合和一个定义在集合上的运算$*$组成的有序二元组，这个集合中的元素包含非常广泛（元素本身就可以是一种运算等等）。群需要满足四个公理：封闭性（对于*运算封闭），结合性（$a*b=b*a$)，存在幺元（$e*a=a$），任意元素存在逆元（$a*a^{-1}=e$）。

然后是置换群$G$：一个置换规定一种变换法则，将集合中的一些元素映射成另一些。

OI中一般可以认为“元素”是一个数组$\{a_i\}$，对这个数组的变换（如交换某两个元素，翻转等等）就是置换，置换群就是一个置换的集合加上一个“叠加”运算（就是两个置换一次操作）。

有了这些概念，就可以引入Burnside的概念了。

不动点$c(a_i)$：若某元素在置换$a_i$下不改变，则成它为置换$a_i$的不动点。

元素轨道$E_k$（等价类）：一个元素经过置换能得到的所有元素集合（这里元素可以看做一个点，置换可以看作走一条边，轨道就是能走到的所有点的集合）。

稳定化子$Z_k$ ：使操作后这个元素不变的置换集合（即这个元素是此集合内所有置换的不动点）。

拉格朗日定理：一个有限群的子群的元素个数必能整除这个群的元素个数。

轨道－稳定化子定理：$|E_k|*|Z_k|=G$

由上式即可推出Burnside引理：一个置换群的等价类的个数等于各置换不动点个数的平均值。

证明见上面第四个网址，下同。

但是要求每个置换的不动点个数过于复杂，这时候就需要用到polya定理，就是将不动点的个数具体化为颜色的循环个数次方。

 

概念理解之后就可以做练习了，下面是例题。

注意题目是否给出了恒等变换，如果没有则需要自己添加。

切记：循环是所有问题的突破口，DP与数学通式是大部分题目的标算。

不涉及定理的题目：POJ3270,POJ2369,POJ1721,POJ3128,BZOJ1025

polya定理：BZOJ1004,POJ2409,POJ2154