P10496 The Luckiest Number 题解

P10496 The Luckiest Number 题解

题目链接

题目大意

给定一个数字 $L$，求仅由 $8$ 组成的数字且是 $L$ 的倍数的正整数中的最小值的位数。

解题思路

对于由 $x$ 位 $8$ 组成的数字，可以将其表示为 $\frac{8}{9}({10}^x-1)$，故原题转化为求满足 $L|\frac{8}{9}({10}^x-1)$ 的正整数 $x$ 的最小值。

设 $g=gcd(8,L)$，等式两边同时乘 $9$ 并除以 $g$ 得：$\frac{9L}{g}|({10}^x-1)$，由于 $g$ 的质因数仅有 $2$（或者根本没有），所以右边 $8({10}^x-1)$ 除以 $g$ 后不影响原式结果。

将上式改写为同余式得 ${10}^x\equiv 1(mod\frac{9L}{g})$。因为若 $a,n$ 互质，满足 $a^x\equiv 1(modn)$ 的正整数解最小为 $\varphi (n)$ 的约数（证明略），所以可以直接枚举 $\frac{9L}{g}$ 的约数，每个代入进去尝试即可求出答案。

若 $gcd(10,\frac{9L}{g})\ne 1$，则无解。

复杂度分析

枚举 $\frac{9L}{g}$ 的因数需要 $O(\sqrt{L})$ 的时间，内层代入尝试需要快速幂优化，所以总体复杂度为 $O(\sqrt{L}\log L)$。

代码

// Problem: P10496 The Luckiest Number
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P10496
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Date: 2025-01-18 12:42:51
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
typedef unsigned long long ull;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define pii pair<ll, ll>
#define fi first
#define se second
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define pb(x) push_back(x)

ll read(){ll x = 0, f = 1;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9'){x = 10*x+c-'0';c = getchar();}return f*x;}
void writ(ll x){if(x < 0){putchar('-');x = -x;}if(x > 9) writ(x/10);putchar(x%10 | 0x30);return;}
void write(ll x){writ(x);puts("");}
void wr(ll x){writ(x);putchar(' ');}
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

ll l;

ll gcd(ll x, ll y){
	if(x < y) swap(x, y);
	if(y == 0) return x;
	return gcd(y, x%y);
}
ll phi(ll x){
	ll res = x;
	for(ll i = 2;i*i <= x;i++){
		if(x%i == 0){
			res = res/i*(i-1);
			while(x%i == 0) x /= i;
		}
	}
	if(x > 1) res = res/x*(x-1);
	return res;
}
ll quick_pow(ll x, ll y, ll m){
	ll res = 1, bse = x;
	while(y){
		if(y&1) res = res*bse%m;
		bse = bse*bse%m;
		y /= 2;
	}
	return res;
}
void solve(){
	for(int i = 1;;i++){
		l = read();
		if(l == 0) break;
		ll g = 9*l/gcd(9*l, 8);
		ll p = phi(g), ans = inf;
		printf("Case %d: ", i);
		if(gcd(10, g) != 1){
			write(0);	
			continue;
		}
		for(ll j = 1;j*j <= p;j++){
			if(p%j) continue;
			if(quick_pow(10, j, g) == 1) ans = min(ans, j);
			if(quick_pow(10, p/j, g) == 1) ans = min(ans, p/j);
		}
		if(ans != inf) write(ans);
	}
}

signed main(){
	solve();
	return 0; 
}

最后不要忘了双倍经验