进制之间的转换

二进制

计算机的信息都是以二进制数存储的。计算机内部一律采用二进制的原因：

1. 电压只有两个状态：高和低；用数字表示就是 1 和 0。
2. 二进制的逻辑运算简单。逻辑只有 “0” 和 “1”，即真和假。
3. 二进制的运算法则简单。

数制有六十进制、十六进制、十进制、八进制、二进制等。平常用得最多的是十进制，计算机内部使用的是二进制，编程还要用到八进制和十六进制。

基数与位权

基数就是进制中能表示数字的符号的个数。十进制有 0~9 共是个数字符号，所以基数是 10。二进制的基数是 2。某种进制允许使用的数字符号有多少个，其基数就是多少。

位权就是以基数为底，以数字所在的序号为指数的整数幂。十进制 12 的基数是 10，从右到左（个位到十位）的数字符号的序号依次是 0 和 1。那么，数字符号 2 的位权是 10⁰；数字 1 的位权是 10¹。

十进制 12 又可以这样表示：1×10¹+2×10⁰=12。

二进制 1.1：

$$1.1=0\times 2^1+1\times 2^0+1\times 2^{-}1$$

十进制 886.88：

$$886.88=8\times {10}^2+8\times {10}^1+6\times {10}^0+8\times {10}^{-}1+8\times {10}^{-}2$$

R进制转为十进制

R 进制转换为十进制要按位权展开求和。

（1）二进制数 1001 转换为十进制数

$$1001=1\times 2^3+0\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=9$$

（2）八进制数 35 转换为十进制数

$$35=3\times 8^1+5\times 8^0=29$$

（3）十六进制数 32CF 转换为十进制数

$$32CF=3\times {16}^3+2\times {16}^2+12\times {16}^1+15\times {16}^0=13007$$

十进制转为R进制

整数转换

十进制整数化为 R 进制数：除 R 取余。

（1）把 237.8125 转换为二进制数。

从低往上依次填写的余数就是二进制的整数部分得到 11101101。

（2）把 58506.8125 转换为八进制数。

从低往上依次填写的余数就是八进制的整数部分得到 162212。

小数转换

十进制纯小数化为 R 进制数：乘 R 取整法，得 R 进制纯小数。

（1）把 0.8125 转换为二进制数。

$0.8125\times 2=1.625$ …… 整数部分为 1

$0.625\times 2=1.25$ …… 整数部分为 1

$0.25\times 2=0.5$ …… 整数部分为 0

$0.5\times 2=1$ …… 整数部分为 1

从高往下依次填写的整数就是二进制的小数部分得到 0.1101。

（2）把 0.8125 转换为八进制数。

从高往下依次填写的整数就是二进制的小数部分得到 0.64。

二进制转八进制

二进制的基数是 2，八进制的基数是 8，由于 8 是 2 的整数次幂，即$8=2^3$，所以一位八进制数正好相当于3位二进制数。以小数点为界限，分别向左、向右每3位一组划分，最后剩下的位数不够3位时用0补齐，再进行转换。

将二进制数 111111011.0100001 转换为八进制数，首先以小数点为界限，以3位数为一组进行划分：

整数部分001原本是1，由于是最后剩下的，所以用0补齐；小数部分100原本也是1，且也是最后剩下的，所以用0补齐。

将每组对于的八进制数写出来：

所以最后的结果是：1111111011.0100001=1773.204。

八进制转二进制

八进制转换为二进制就非常的简单了，只需要把八进制的每一位数字转换成3位二进制数即可，注意，如果二进制只有两位或者两位以下时，用0补齐这组数的最前面即可。

将八进制数 72.531 转换为二进制数：

所以最后的结果是：$72.531=111010.101011001$

二进制转十六进制

二进制的基数是 2，十六进制的基数是 16，由于 16 是 2 的整数次幂，即$16=2^4$，所以一位十六进制数正好相当于4位二进制数。以小数点为界限，分别向左、向右每4位一组划分，最后剩下的位数不够4位时用0补齐，再进行转换。

将 111101010011.10111 转换为十六进制数，首先以小数点为界限，以4位数为一组划分，再依次对其进行转换：

所以，最终结果为$111101010011.10111=F53.B8$。

十六进制转二进制

十六进制转换为二进制，直接将十六进制的每一位数字对应的二进制数写出来即可：

所以，最终结果为$F53.B8=111101010011.10111$。

八进制与十六进制互转

八进制与十六进制之间的转换，最简单的方法就是借助于二进制来实现，先将八进制转换为二进制，然后二进制再转换为十六进制。同样的，十六进制转换为八进制也是借助于二进制实现。

进制对照表

二进制	八进制	十进制	十六进制
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F