恒定电流
恒定电流
欧姆定律
如果学过初中体制内物理，想必大家都很熟悉欧姆定律：
其中\(I\)代表经过用电器的电流，\(U\)代表用电器两端的电势差，\(R\)代表用电器的电阻。
那么这个式子是怎么推导出来的呢？
一切都要从\(I\)，电流的定义开始。
\(I\)是物理学家定义的一个概念，指的的是 在单位时间中通过导体横截面的电荷量。用数学表达即为：
平常我们更加经常接触的式子是\(I = \frac{Q}{t}\)，是因为在一个特定的导体中，在温度一定的情况下，\(Q\)的变化和\(t\)呈线性关系，故微分式可直接写作\(\frac{Q}{t}\)。
其中，\(Q\)代表的是在\(0\)~\(t\)内经过某导体的横截面的电荷量，单位为库仑\(C\)。
对此我们可以进行一定的衍生。
我们定义，在一个特定的导体中，在温度一定的情况下，其横截面积为\(S\)，横截面的微元长度为\(l\)，单位体积的电荷量（即电荷密度）为\(\rho\)。
\(\rho\) 可以被定义为：
其中\(n\)代表在单位体积中的电子数量，而\(e = 1.6 * 10^{-19}\)则是电子的带电量。
那么\(Q\)可以表示为:
带着这个衍生结论，我们回到\(I\)中。
在温度一定的情况下，\(\rho\)和\(S\)都为定值，故可以直接提出微分：
\(\frac{dl}{dt}\)... 这不就是速度\(v\)的定义吗？在这个式子中，也就是代表着每一个电子在通过这个横截面的速度。
故\(I\)可以被重定义为：
完全摆脱微分了！
我们还可以进一步利用\(v\)。
我们知道，电流的产生条件是电荷的定向移动喂喂喂，你这个家伙前面可完全没提到啊， 而产生此定向移动的原因是用电器内部的电场\(E\)。
结合在电场中提到的对于电场力的讨论，我们可以得出，对于质量为\(m\)单位电子来说，其在用电器内部的加速度\(a\)为：
假设用电器内部为匀强电场，则电子在用电器内部受到电场力恒定，进行的的是匀加速运动。在此之上，假设其通过这个用电器耗时\(t\)。则其在用电器内的平均速度\(\overline{v}\)为：
因为是平均速度，所以我们可以直接假定电子在通过横截面的速度\(v\)等于\(\overline{v}\)（也可以理解为在讨论\(t/2\)时刻通过的横截面）
也就是说，如果我们将其带回\(I\)的式子中：
\(e\)和\(m\)都是电子的性质，而\(n\)和\(t\)在恒定温度下仅仅与用电器的材料有关，与其形状和其余因素都无关，因此我们可以直接针对在一特定温度下的每一种材料都定义一个性质$\sigma $:
这就是我们平常所说的导电性。\(\sigma\)越大，导体越难导电；\(\sigma\)越小，导体越容易导电。感性的理解也很好理解：如果一个用电器内的电荷很多(\(n\)大），那么电荷通过它的时候就越容易和其他电荷发生冲撞，通过导体所需要的时间\(t\)就越久，自然就越难通过导体，导体的导电性自然就差。
将\(\sigma\)带回，\(I\)的式子就看起来简单了很多：
再结合\(E = \frac{V}{d}\) （忘了？去这复习）
诶，桥头麻袋，这个\(\frac{\sigma S}{l}\)好眼熟啊...
这不就是我们定义的电阻\(R = \frac{l}{\sigma S}\)的倒数嘛？
至此，得证：
