电场【未完待续】

电场

电荷

“电”这一现象的本质，就是电荷的定向移动。因此，电荷的性质对于这章的所有概念的理解的至关重要。

首先，我们先关注电荷的最基本性质：正负性。

世界上存在两种电荷：正电荷和负电荷。两个电荷之间的关系很简单：异性相吸，同性相斥（从某种程度上来说和高中生很像），而两个异性的电荷接触后，则会中和为中性电荷。将这一基本性质牢牢的把握住，很多电学现象就很好理解。举个例子：

这是 静电感应现象，用电荷之间的性质是很好理解这其中的物体电性变化的：在(a)中，原先中性的物体\(A\)和\(B\)在被带正电荷的\(C\)接近后，其中的负电荷因为 异性相吸 被吸引至靠近\(C\)的\(A\)段，而正电荷则因为 同性相斥 被踹到了远离\(C\)的\(B\)端。在这种情况下，像(b)中一样将\(A\)段和\(B\)段分开，\(A\)段负电荷较多，故呈负电性；\(B\)段正电荷较多，故呈正电性。若是像(c)一样再把\(A\)和\(B\)拼回去，那么正电荷便会重新和负电荷相拥，回到中性。

若是想要更加严谨的讨论这个问题，就不得不涉及到电场和静电平衡的概念，我们会在后面进行详细的讨论。

在(c)步骤中我们其实已经涉及到了电荷的另一个概念。为什么在经过ab后，\(A\)段和\(B\)段中的正/负电荷没有变多也没有变少呢？

这就是电荷守恒定律，那就是所有正电荷和负电荷的电量的代数和是保持不变的。在\(A\)\(B\)段中，没有电子离开这个介质，故正电荷和负电荷的数量较初始状态来说，没有发生改变。

还需要知道的一个物理量就是电荷的单位库伦\(C\)，一个电子的电荷量是\(1.6* 10^{19}C\)。

电荷吸引力

前面我们已经有提到，电荷之间是有相吸和相斥造成的移动的。移动的起因是力，也就是说电荷之间是有力的作用的。法国物理学家库伦对此的研究结论如下：

对于电荷量分别为\(q_1\)和\(q_2\)，相距\(r\)的两个电荷来说，他们之间的吸引/排斥力为：

\[F_{q_{1}q_2} = \frac{kq_1q_2}{r^2} \]

其中\(k\)指的是静电力常量，\(k = 9 * 10^9 N * m^2/C^2\)。

库伦是通过 库伦扭秤 得出的这个结论，具体的实验过程因为篇幅原因就不展开了。笔者觉得这个实验还是很有意思的，所以有兴趣的读者可以去自己了解一下。

这个式子是和我们学过的关于 万有引力的式子\(F = \frac{GMm}{r^2}\)很像的，因此可以带入很多万有引力的性质来方便理解：

1. 库伦力和万有引力一样，对于两个两个电荷来说，他们受到的力是一对作用力和反作用力，大小相同，方向相反，沿同一直线
2. 库伦力和万有引力一样，是一个保守力，和运动轨迹无关，仅和受力物体的相对位置有关

但与万有引力有一个非常大的不同：相比起万有引力直接指向受力物体的方向，库仑力是需要通过两个电荷的正负性来判断方向的。若是两个电荷正负性相同，则为指出受力物体的相斥力；若是两个电荷正负性相反，则为指向物体的吸引力。

栗子

单说概念还是略显苍白，上个例子：

在真空中有三个点电荷，它们的位置在边长为50cm的等边三角形的三个顶点上，设每个点的电荷量都是\(+2*10^{-6} C\)，求他们所受的库伦力

解：

首先，按照题意作上图。易见三个电荷所受库仑力相等，故只需要讨论一个电荷所受电荷力即可。

利用库伦定理可得\(F_1 = F_2 = k\frac{q^2}{r^2}\).

向量叠加，结合余弦定理，得\(F = 2F_1 \cos(30) = 2 k\cos(30)\frac{q^2}{r^2} = 0.144N\) .

电场

这个部分是整章的重中之重。不仅是因为电场概念本身抽象难懂，更是因为电场此概念对于后面会提及的所有内容都是关键因素。相比起直接从公式出发，笔者尽自己所能的用简单易懂的语言来讲解此概念后再引入公式，如有疏漏还请谅解并指出。

我们来考虑一个问题：在前面的部分中我们有提到电荷之间是有库伦力的作用的，但是这个力似乎和我们平常接触到的力有一些不同。

他似乎没有传播媒介诶？

如果我们需要对于一个物体施加一个推力，那么我们需要用手来接触这个物体，以自己的手掌为媒介，向物体施力；如果一个粗糙表面要向一个物体施加摩擦力，那么这个物体需要接触这个粗糙表面。但是对于电磁力来说，只要有两个电荷存在于一个系统中，那么库仑力就一定存在并且不需要传播媒介。

这是不是和万有引力有点像？这就是因为库仑力和万有引力都是 场力，也就是只要物体存在于力场 中就会受到的力，而 电场 就是每个电荷都会携带的力场。对于正电荷，它的电场指出电荷；对于负电荷，它的电场指向电荷。

力场这个概念是非常强大的，因为它既能够关联物体在场中所收到的 力 ，还可以关联这个场内的 能量。有了这两个量，我们可以做非常多的定义和操作。

电场强度\(E\)便是描述电场的力的性质。它的定义是 在电场中某点的检验电荷所受的库仑力和检验电荷的电荷量的比值，可以理解为 每一库伦的电荷所受到的力。

\[F = E*q \]

根据这个式子，我们可以很轻松的结合库仑力的定义写出对于一个电量为\(Q\)的电荷的电场强度\(E\)的式子（所以根本不需要背公式啊，理解概念之后就很简单）：

\[E = \frac{kQ}{r^2} \]

需要注意以下几点：

1. 电场强度为向量因为电场是由有方向的，由电力线表示
2. 电场的方向仅由产生电荷的电性有关，所以检验电荷受到的电场是和它本身的电性无关的
3. 在讨论检验电荷受到的库仑力时方需要考虑检验电荷电性，建议 直接带着电荷正负进行计算 或是记结论： 正电荷受力和电场方向相同，负电荷相反

因为电场是由每一个在系统中的电荷所产生的，所以遇到有多个电荷存在于系统中的情况将电场和力一样进行向量叠加即可。

高斯定律

笔者太菜了，还没搞明白，搞明白了补上

小小的思考题

把检验电荷\(q\)放在某电场中的\(A\)点,测得它所受的电场力为 \(F\);再把它放到\(B\)点,测得它所受的电场力为\(nF\).那么，\(A\)点和\(B\)点的场强之比 $ \frac{E_A}{E_B}$是多少？

解：\(\frac{1}{n}\)，易得

再把另一电量为\(n*q\)的检验电荷放到另一点\(C\),测得它所受的电场力也是\(F\)，那么，\(A\)点和\(C\)点的场强之比\(\frac{E_A}{E_B}\)多少？

解：\(n\)，易得

由此能否得出结论：电场强度跟检验电荷所受的力成正比,跟检验电荷的电量成反比？

解：否。电场是造成电荷力的，且和检验电荷无关（很类似于电压和电流以及电阻的逻辑关系）。正确的逻辑应该是：

检验电荷所受的力跟电场强度成正比,跟检验电荷的电量成正比

小小的计算题

有一个均匀带电的细圆环，半径为\(R\),所带的电量为\(q\),求圆环轴线(过圆心重直于因环干面的直线)上某点的场强\(E\)

图张这个样子，不妨先自己试着算一下

解：

因均匀带电，因此先考虑两个关于圆的直径对称的电荷\(q_0\)和\(q_0'\)对于考虑的电的电场影响。

\[E_{q_0} = \frac{kq_0}{r^2} \\ E_{q_0'} = \frac{kq_0'}{r^2} \]

对于这两个电场进行向量叠加，不难发现沿着直径的分量可以抵消掉，只需要考虑沿着圆环轴线的分量

\[E' = E_{q_0}*\cos(\theta) + E_{q_0'} * \cos(\theta) \\ E' = 2\frac{kq_0\cos(\theta)}{r^2} \]

然后发现，对于每个园内的每一个电荷所造成的电场进行叠加即可，也就是说在半圆内每个电荷和它所对应的电荷所造成的电场之和，也就是：\(E = E' * \pi r\)

结合\(q_0 = \frac{q}{2\pi r}\)进一步化简：

\[E=2\frac{kq_0(\cos(\theta)*r)}{r^2} * \pi \\ = 2\pi\frac{kq_0x}{r^2} \\ = \frac{kqx}{r^3} \]

得解。

电势

前面有提到，电场是还可以关联这个场内的能量的，电势就是用来定义电场能量的量。

在讨论完库仑力后，我们不妨来考虑一下库仑力推动电荷在电场中运动的情况。显然，在这种情况下库仑力是对电荷做功的，我们可以从这点着手讨论电荷在电场内的能量。

首先，任何一个物体在机械能守恒的情况下，被一个力所做的功等于这个物体的势能变化的相反数。因为库仑力是保守力，故电荷在电场内运动时机械能守恒，可以运用这个结论。

故，一个距离零势点距离为\(r\)电荷的势能\(U\)可以表示为：

\[U =\int_r ^0 F(r) dr \]

结合库仑力的式子：

\[U = -\int \frac{kQq}{r^2} dr = \frac{kQq}{r} \]

不会积分也没关系，这只是公式推导的一个过程（和重力势能几乎同一原理）。从概念上来说，一个电荷在电场任一位置的电势能就是 从零势点将这个电荷拽到这个地点所需要做的功。随着零势点的改变，电势能也会随之改变。通常来说，我们假设地面或是无限远处为零势点。

前面说过，能量是可以和电场联系起来的。从式子上也不难发现，如果在一个匀强电场，电场内电场强度一定(即\(\frac{kQ}{r^2}\)不变)：

\[U= E * r *q \]

我们效仿对于电场强度的操作，将\(q\)从这个式子中分离，得到一个新的物理量，我们将其称作一个检验电荷在距离产生电场的电荷距离\(r\)的电势\(V(r)\)

\[V(r) =\frac{kQ}{r} \\= E*r(仅在匀强电场中) \]

类似于电场强度用来表示一库仑的单位电荷在电场中的受力，电势是用来表示单位电荷在电场中的能量的物理量。

前面有提到，随着零势点的变化，电势能是会发生改变的，也就是说电势是会发生改变的。但是，对于电场中的两个点\(A\)和\(B\)来说，他们的 电势差 \(U_{AB}\) 却是不会变的。这个电势差就是我们平常所提到的 电压。它比起电势能和电势来说更加常用正是因为它能够很轻松地表示的是从电场中任一点到任意另一点所需要的能量而不需要去考虑零势能点，也不需要考虑检验电荷的电性。

对于一匀强电场来说，电荷\(q\)从电场中\(A\)点到\(B\)点所需要的能量\(W_{AB}\)可以表示为：

\[W_{AB} = V_{AB} * q \]

也就是说，我们可以用电势差来衡量电场中的能量。我们还可以和匀强电场强度\(E\)进行联系。

\[V_{AB} = \frac{E}{d_{AB}} \]

这个式子代表，在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。

电力线

前面有提到，电力线代表的是电场中的库仑力的方向。若是一个电荷沿着电力线运动，那么便说明电场的库仑力对其做正功(\(W = F * s\))，也就是说电荷的电势能下降。因此，我们推导出，电势沿着电力线方向从大到小变化。

栗子

来食用一个栗子

如图所示,在空气中带有等量异号电荷的平行板 A 和B之问有一匀强电场，场强\(E=2× 10^4 V/m\),板间距商为 \(10cm\).电场中C点距B板\(3cm\), D点距A板\(2cm\).

• C.D两点哪点电势高？\(U_{CD}\)为多少？

  • D, \(-10^5V\)

• 如果\(U_B = 0\)，则C和D的电势\(U_C\)和\(U_D\)分别是多少？如果\(U_A = 0\)，则C和D的电势\(U_C\)和\(U_D\)分别是多少？\(U_{CD}\)是否不变？

  • \(6*10^4V; 1.6*10^5V;-1.4*10^5V; -4*10^4V\);相同

• 一个电子从C点移动到了D点，电场力做了多少功？如果使电子限移动到E，再移动到D，电场力又做了多少功？

  • \(1.6 * 10^{-16}J;1.6 * 10^{-16}J\)

电场中的电荷

静电平衡

电容

电场能