【学习笔记】振动和波
振动和波
前言
花了一周补了一下这块的知识点,发现其异常的美和整洁,故写下次学习笔记。既是巩固,也是记录
前置芝士【1】:振动
振动定义:物体在某一位置的反复运动,称为机械振动(Mechanical Vibration) ,简称振动
在基础物理学中最常讨论的振动类型就是简谐振动,其指的是一个物体在不受除了一个线性回复力的力之外的力的作用下在平衡位置的反复运动。其位移\(x\)关于振动时间\(t\)的表达式为:
其中\(A\) 为振幅;\(w\)为角频率,可以被表达为$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu $ ;\(\varphi\) 为初相位,用以表示\(A_0 = A cos(\varphi)\),其中\(A_0\) 为振动初始位置。
这个式子本质上来说是对于简谐振动的运动轨迹的反向映射,将其放进了一个圆周运动进行讨论。具体的来说:考虑一个物体绕着原点以\(A\)为半径的圆周运动。试着将其距离\(y\)轴的距离\(x\)按时间变化的图像画出来,你会惊喜的发现这与简谐振动的运动轨迹正好符合,正如下图所示:
![IMG_0216(20220527-101301)](https://tva1.sinaimg.cn/large/e6c9d24egy1h2mqr7ar0hj20u019fadg.jpg)
然后在圆周运动中我们可以借助三角函数这一强大数学工具,因此便用这一简单明了的数学式表达出了原本繁琐的简谐振动。
很妙吧?别急,更妙的来了~
前置芝士【2】:振动的叠加
在实际应用中,出现仅有一个振源造成振动的情况及其少见,因此为了考虑更普遍的情景我们就不得不考虑振动的叠加。考虑一个合成的振动\(x\),其两个振源为\(x_1\),\(x_2\)在单个存在时造成的简谐振动可以分别表达为:
不难理解\(x\) 的位移为两个振动的代数和,运用三角和差公式即:
看来到这一步似乎就卡住了?可是如果想要表达出来这个振动肯定是要回到\(x(t) = A \cos ( {\omega {t}} + \varphi )\)的形式。
所以我们反向考虑一下,用和差公式再把这个最终式拆开成为\(x(t) = (A\cos(\varphi) )\cos(\omega t) -(A \sin(\varphi)) \sin(\omega t)\)【2】
诶,【1】式是不是和【2】式有点像?
所以我们不妨假设:
由此,【1】式和【2】式等价。
再进一步:看到\(A\)乘上一个三角函数,我们不难联想到一个直角三角形。考虑一个斜边为\(A\)的直角三角形,那么根据我们的结论,可以得出这样的一个图像:
![IMG_0218(20220527-110623)](https://tva1.sinaimg.cn/large/e6c9d24egy1h2msc1esv9j21690u0gnn.jpg)
至此,\(A\)和\(\varphi\)就很显然了
\(A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_2 - \varphi_1) }\)
\(\tan(\varphi) = \frac{A_1 \sin(\varphi_1) + A_2 \sin(\varphi_2)}{A_1 \cos (\varphi_1) + A_2 \cos(\varphi_2)}\)
至此,讨论波的前置芝士食用完毕,我们来看看漂亮的波吧
波的定义 & 基本概念
我们在生活中其实时刻都有看到波,且波也不是一个特别抽象的概念,想必读者必然有(或者见到过)在绳子上甩出一个波的经历
![R-C.12872c04a43ec13ccc535c38563a7538](https://tva1.sinaimg.cn/large/e6c9d24egy1h2msyngox4g20go09vn0g.gif)
想一想你是怎么做到造成这个波的?
是不是先手上下挥舞,做一个类似于振动的动作?
然后绳子是不是会随着你的上下震动开始以类似的形式也开始振动,然后从你的手持的末端开始向远处传播这个运动形式?
这便是波的定义:机械振动这一运动形式在某一介质中的传播形式。
从这个定义出发,我们再来更加细的量化波。
由于波是对于振动的传播,是一个过程量,所以它必定是有一个速率的。我们定义波的速度\((v)\)为对于振动状态传播的快慢。对于振动我们通过周期(\(T\))对其所需时间进行量化,表示这个振源需要多久来完成一整套震荡并使质元回到相同的状态。因此,根据速率 = 位移/ 时间的定义,我们可以得出\(v = \frac{\lambda}{T}\),\(\lambda\)代表波长,即这个振动状态下两个处于同状态的质元的距离差,也就是同一质元在经历了一个\(T\)之后相对于原始位置的位移。
波函数
遇到一个物理概念,不用数学表达就感觉浑身难受,对于波也是如此。即然我们能够用数学表达式表达出振动的位移数学式子,那么波是怎么表达的呢?
考虑处于波中物体的每一个质元。在波源不变的情况下,不难发现,每个质元都是在做相同的上下振动的简谐振动,但处于运动中不同时间的不同状态。
我们还可以发现,质元所处的状态,是和这个质元距离波源的距离有关的。因为振动状态是从波源向外传播的,所以越靠近波源的质元和波源的振动状态越相似。这其实很好理解:在你甩动绳子的时候,离你近的那部分绳子先开始振动,接着离你远的绳子才开始振动。离你手很近的绳子的振动规律是和你的手很相似的,而随着距离你的手越远运动状态就开始呈周期性变化。
这些质元并不是在自己凭空运动:他们是在重复传导振动给他的上一个质元上一瞬间的动作,也就是在重复振源的动作。随着这个传导的过程的进行,因为距离振源有一定距离,所以这个质元有相比起振源有一定的延迟,而这个延迟就是振动传送到这个位置所需的时间。
到此,我们再结合振源是在进行间歇运动以及前面所列出的波速的定义,就可以写出距离振源\(y\)的波上质元相比起启始位置的位移(\(x\))关于时间(\(t\))的函数:
结合\(v = \frac{\lambda}{T}\)以及周期和频率的定义,此函数还有变形如下:
若定义波数\(k = 2\pi/\lambda\) ,则还可以写作:
波的叠加
和振动类似的,在有了波函数后我们不妨就可来探究一下波的叠加。
因为波本身就是对于振动的叠加的传播,因此可以直接利用对于振动的叠加对于波的叠加进行描述。
假设进行叠加的两个波的波源为\(x_1\)和\(x_2\),其在距离波源分别为\(r_1\) 和\(r_2\)的地方进行叠加。那么在此处的\(x_1\)和\(x_2\)分别可以表示为:
结合\(v= \frac{\lambda}{T}\)和在三角函数中\(T = 2\pi\),即可将两式写作:
对两者就和并转换,利用前面已经在振动的叠加中的方法,即可得到:
其中\(\Delta\varphi = (\frac{2\pi r_1}{\lambda} + \varphi) - (\frac{2\pi r_2}{\lambda} + \varphi)\)即:
观察这个式子不难发现,在\(\cos\)函数的出现下,这个式子中的(\(r_1 - r_2\))是能够决定\(A\)的大小的,也就是说,在距离振源距离不同的区域叠加,在一些区域的振动增强,而在一些区域的振动减弱,并且振动加强和振动减弱的的区域间隔分布。这个代数现象在现实生活中就是下图
![v2-390f3df1b7fb8da19c869d550d7cc1c3_r](https://tva1.sinaimg.cn/large/e6c9d24egy1h2n3ymls63j21hc0u0wl3.jpg)
非常的美,对不对?
这就是波的干涉现象。
然而这个现象并不是在所有的波的叠加下都能产生的。不难发现,前面在对于振动的叠加时的假设是两个振动function内的\(\omega\) 是一样的,不然是不可能这么简洁的表达出两个式子的代数和的。因此,我们定义两个频率相同,相位差相同的,且振动方向相同的波源为相干波源(Coherent Source)。只有相干波源才能产生这种图像内的干涉现象,其余的波的叠加是杂乱而无序的,没有办法通过简洁的代数式表达。遗憾~
波的衍射
这部分应该是这章里最漂亮的了(因为完全没有数学)
前面我们在讨论波的传播的时候都是在假定波在介质传播中并不会受到阻碍的,但在实际情况下这必然是不可能的。就拿生活中常见的波声波举例,你在大声喊话的时候,声波怎么可能不在空气中不遇到其他物体的阻碍呢?
那我们就来讨论一下波在遇到阻碍后会怎么变化吧。在此之前我们先来定性一下波的传播状态。
波线指的是波上每个点沿其在传播方向所画出的一条线,而 波面指的是在一个瞬间,将所有的波线的点连在一起所形成的一个平面。 波前指的是所有波面中最为远离振源的那个。
![IMG_0230(20220528-221139)](https://tva1.sinaimg.cn/large/e6c9d24egy1h2oh5zgyoqj21av0u045i.jpg)
好了,有了这个概念,我们就可以来看一看 惠更斯原理 了
这个原理指出:介质中任一波面上的每个点,都可以看做是一个新的波源。这些波源在发出新的子播,并以此形成新的的波面,从而进行波的传播。
听起来有点难懂?我们来看点美观的图片就能够理解了
![IMG_0232(20220528-221932)](https://tva1.sinaimg.cn/large/e6c9d24egy1h2ohdk0c5pj215w0u0dkp.jpg)
\(S_1\)代表的是某一时刻这个波的波面,而\(S_2\)代表的是它下个时刻的波面。
这个\(S_2\)是怎么形成的呢?就是\(S_1\)上的每个点都向外做一个半径为从\(S_1\)时刻到\(S_2\)时刻这个波的传播距离的圆,并将这无数个圆组合在一起,构成了\(S_2\)这个外部的圆形。这就是新的波面。
这是很符合常识的,想想看,往平静的湖面上倒一个水滴,是不是一个个越来越大的圆形在水面上荡漾开了?这就是 惠更斯原理的作用了。
再来一个例子:如果一个波是沿着直线传播的话,用惠更斯原理解释其传播路径就如下图:
即然惠更斯定理解释完毕,那我们来回到这个部分的开头:如何处理波在介质中传播遇到阻碍的情况呢?
惠更斯原理已经指出,在这个波的传播介质中的每一个点都可以看做波源,因此我们只需要对于阻碍介质上的每个点做圆并拟合出一个新的波面就能够定性的判断出波的新传播状态。
举个例子:用来叫我们去做核算的喇叭,是怎么做到让声音转播的如此之广的呢?
![IMG_0237(20220529-132225)](https://tva1.sinaimg.cn/large/e6c9d24egy1h2p7gv3bmqj20u019etea.jpg)
我们考虑喇叭的最末端。正在传播的声波遇到了如图所示的阻碍,且在阻碍中间有间隙。根据惠更斯原理,阻碍介质上的每一个点都是波源,并且向外界以半圆形传播声波。拟合后不难发现,新的波面从原先的直线变化成为了一个半圆。这种 障碍物使得波在传播过程中不再沿直线,而是偏离直线传播方向 的现象被称为波的衍射
诚然,惠更斯定理很通俗易懂且异常的漂亮,但它仅仅只是对波的衍射进行了定性,而非定量。具体的定量计算会涉及到更多复杂的性质,会在之后的光学篇章中讲到挖一个永远不会填的坑。
驻波
原先不是很想写这个章节的因为觉得性质显然,但既然在物理碗等竞赛中经常出现,那还是有必要提及的。因为我也经常忘
这个视频中的有趣现象就是我们称为 驻波 的物理概念。
基本的概念在视屏中有所提及,就不再重复。我们现在需要讨论的,是驻波形成的条件。
因为驻波本质上来说是一个有着半波损的反射波和原波的干涉现象,所以我们可以用之前提到的波的叠加对其进行定性。
假设原波的波函数\(x(t)\)形如
那么对应的,因为它的反射波与他的速度相同且方向相反,反射波的波函数形如:
那么两者合成的驻波\(k(t)\)自然就形如两者的代数和,即:
非常的简单的式子是不是?感觉自己大功告成?
但检查这个式子,发现一个令人不安的情况:\(2A\cos(2\pi\frac{y}{\lambda})\)的值域为\([-2A, 2A]\),也就是说这里的振幅有可能是负的。
这显然是不正确的,但好在 \(\cos\) 函数优秀的性质可以使我们不用全盘推翻。如果需要振幅部分为正的话,我们不妨结合 \(\cos\) 的这个性质:
对于原函数进行变形。因为当\(2A\cos(2\pi\frac{y}{\lambda}) < 0\)时,\(2A\cos(2\pi\frac{y}{\lambda}) = - \left|{2A\cos(2\pi\frac{y}{\lambda})}\right| [4]\),那么不妨做以下操作:
这便是正确的式子了。
结合这个式子,我们就可以判断什么时候驻波可以存在:在\(\left|{\cos(2\pi\frac{y}{\lambda})}\right| = 1\)时,则波腹存在。也就是对于一个长度为\(L\)的驻波来说,它所有的波腹数量\(n\)可以被表达为:
因为\(n\)必定为整数,所以\(L\)必定是\(\frac{\lambda}{2}\) 的整数倍。至此,驻波的存在条件已经判断完毕。
有错误或问题欢迎指出和沟通!
See You Next Time~