群论学习
群论
置换
就是 n 个元素的一个全排列，实际上是一个一一映射。
然后置换之间定义乘法：
\[f=\{1,3,2\}\\
g=\{2,1,3\}\\
f*g=\{2,3,1\}
\]
然后置换乘法满足结合律不满足交换律。。
然后每个置换可以分解成唯一的一组循环乘积
eg：
\(\{3,5,1,4,2\}=(1\ 3)(2\ 5)(4)\)
为什么要分解成循环？这样可以方便求出不动点。
群
给定一个集合 \(G\) 和集合上的二元运算 \(*\)，如果满足以下条件：
（1）封闭性。
（2）结合律。
（3）存在单位元。
（4）存在逆元。
则称集合 \(G\) 是运算 \(*\) 下的一个群，记为 \((G,*)\) 。
然后置换群就是集合 \(G\) 为置换，二元运算为置换乘法的群。
在置换群的作用下，元素存在等价关系。等价关系满足自反性、对称性、传递性。满足等价关系的元素处于同一个等价类中。
Burnside 引理
对于一个置换 \(f\)，若一个染色方案 \(s\) 经过 \(f\) 后不变，则称 \(s\) 为 \(f\) 的不动点。
记 \(f\) 的不动点个数为 \(C(f)\)，则对于一个置换群，等价类个数为所有 $C(f) $ 的平均值。
Polya 定理
将置换变为循环的乘积形式后，循环节为循环的个数。
对于一个置换 \(f\)，\(C(f)=k^{m(f)}\)，其中 \(k\) 为每个点可能的值，\(m(f)\) 为 \(f\) 的循环节。
再结合 Burnside 引理，在置换群中，等价类个数等于所有置换 \(f\) 的 \(C(f)\) 的平均数。
然后这些东西的作用一般是用来解决一些等价类计数问题。。
关键在于找到所有的置换，然后想办法求出他们的循环或者不动点。。
然后很多题目要从循环乘积的角度找性质来做。。。
https://blog.csdn.net/xym_csdn/article/details/53456447
