gcd 环

首先可以特判出 \(15\) 以下的点（其实我还是觉得判 \(12\) 以下就行了）

首先可以发现对于质数 \(p\)，若 \(3p>n\)，那么以 \(p\) 为最小质因子的数一定不会在答案中。

设

\[k=upper\_bound(p+1,p+tot+1,n)-p-1\\ t=upper\_bound(p+1,p+tot+1,n/3)-p-1 \]

可以除去不会使用的质数。

那么答案的上界为 \(n-1-(k-t)\)

接下来我们给出一组构造方案，当明白一组后就会想到更多其他的方案。

考虑到倍数最多的数是 \(2\) 和 \(3\)，所以我们用 \(2\) 与 \(3\) 为基础进行构造。

首先我们取出 \(12\) 和 \(2\)，\(12\) 可以沟通 \(2\) 与 \(3\)。

然后我们将每个可行的质数进行构造，每个数的基本思想是以它的 \(2\)，\(3\) 倍为首位，中间连接它的其他倍数。

然后每个质数这样交错进行就可以形成 \(2p-p......-3p-3q-q-......2q\) 的链。

最后要考虑的就是如何将此链与 \(12\) 那头和 \(3\) 的一边拼接在一起。

可以讨论 \(t\) 的奇偶，若为奇数，那么可以先输出 \(3\) 再将 \(3p\) 拼在一起，再连接 \(6\) 再连接 \(2p\)，最后连 \(12\)。

奇数的情况类似。

构造方法很多，无需（须？）拘泥于一种。

\(code\) ：

#include<bits/stdc++.h>
#define gc getchar
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e5+1;
template<class I>
inline void read(I &x) {
	int f;
	char c;
    for (f = 1,c = gc(); c < '0' || c > '9'; c = gc()) if (c == '-') f = -1;
    for (x = 0; c >= '0' && c <= '9'; x = (x << 3) + (x << 1) + (c & 15), c = gc());
    x *= f;
}
int T,n;
int v[N+7],p[N+7],tot;
void primes(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(v[i]==0){
			v[i]=i;
			p[++tot]=i;
		}
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			if(p[j]>v[i]||p[j]>N/i) break;
			v[i*p[j]]=p[j];
		}
	}
}
void solve(){
	if(n<=7) return puts("3"),puts("2 4 6"),void();
    if(n<=9) return puts("4"),puts("2 4 6 8"),void();
    if(n<=11) return puts("5"),puts("2 4 6 8 10"),void();
    //if(n<=13) return puts("8"),puts("2 4 8 10 12 9 3 6"),void();
    //if(n<=14) return puts("9"),puts("2 4 8 10 14 12 9 3 6"),void();
    int k=upper_bound(p+1,p+tot+1,n)-p-1;
    int t=upper_bound(p+1,p+tot+1,n/3)-p-1;
    cout<<n-1-(k-t)<<endl;
    memset(v,0,sizeof(v));
    v[12]=v[2]=1,printf("12 2 ");
    for(int i=3;i<=t;i++)
    	if(i&1){
    		v[p[i]*2]=v[p[i]]=1;
    		printf("%d %d ",p[i]*2,p[i]);
    		for(int j=p[i]*4;j<=n;j+=p[i])
    			if(!v[j]) v[j]=1,printf("%d ",j);
    		v[p[i]*3]=1,printf("%d ",p[i]*3);
    	}
    	else {
    		v[p[i]*3]=v[p[i]]=1;
    		printf("%d %d ",p[i]*3,p[i]);
    		for(int j=p[i]*4;j<=n;j+=p[i])
    			if(!v[j]) v[j]=1,printf("%d ",j);
    		v[p[i]*2]=1,printf("%d ",p[i]*2);
    	}
    	if(t&1){
    		v[3]=1,printf("3 ");
        	for(int i=9;i<=n;i+=3)
            	if (!v[i]) v[i]=1,printf("%d ",i);
        	v[6]=1,printf("6 ");
        	for(int i=4;i<=n;i+=2)
            	if (!v[i]) v[i]=1,printf("%d ",i);
    	}
    	else {
    		v[4]=1,printf("4 ");
        	for(int i=8;i<=n;i+=2)
            	if (!v[i]) v[i]=1,printf("%d ",i);
        	v[6]=1,printf("6 ");
        	for(int i=9;i<=n;i+=3)
            	if (!v[i]) v[i]=1,printf("%d ",i);
        	v[3]=1,printf("3 ");
    	}
    puts("");
}
int main(){
	read(T);
	primes();
	while(T--){
		read(n);
		solve();
	}
	return 0;
}