二叉堆第一个非叶子结点的索引

在堆排序中，需要确定二叉堆第一个非叶子结点的索引。将大小为 N 的二叉堆保存于数组 a[0..N-1]，其第一个非叶子结点的索引为 [N/2]-1。

• 由完全二叉树的叶子结点个数知对于大小为 N 的完全二叉树（二叉堆是特殊的完全二叉树），其叶子结点总数为 [(N+1)/2]；
• 设所求索引为 x，则 N-1-x = [(N+1)/2]，x = N-1-[(N+1)/2]；
  • 当 N 为奇数时，x = N-1-(N+1)/2 = (N-3)/2 = [N/2]-1；
  • 当 N 为偶数时，x = N-1-N/2 = [N/2]-1。
• 所以 x=[N/2]-1。

类似可得到，将大小为 N 的二叉堆保存于数组 a[1..N]，其第一个非叶子结点的索引为 [N/2]。