对函数连续性定义的说明

同济版《高等数学第七版》中有对函数连续性有如下叙述：

其中为了用第二种方式来定义函数连续性而作出了如下说明：

我感觉，上图内容更多地是从直观的角度上进行分析，以帮助我们理解第二种定义与第一种定义之间的等价关系。

《微积分学教程第 8 版》中并未对两种定义之间的关系进行说明而是直接给出结论，而《普林斯顿微积分读本》中甚至忽略了第一种定义而直接给出函数极限形式的连续性定义。

为尽可能消除直观，下面尝试进一步解释该说明并在最后对“ε-δ”形式的表述作出分析。仅为个人理解：

首先，我们的目的其实是从 \(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\) 推出 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)。

现在 \(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\) 是已知条件。另外，\(Δy=f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})\) 是我们之前作出的说明，它其实表示的是一个自变量为 Δx，因变量为 Δy 的函数。

由 \(Δy=f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})\) 知 \(f(x_{0}+Δx)=f(x_{0})+Δy\)，令 \(t=x_{0}+Δx\)，则当 \(Δx→0\)，\(t→x_{0}\)，故由复合函数的极限运算法则，有 \(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0} f(x_{0}+Δx)=\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\)，又 \(f(x_{0}+Δx)=f(x_{0})+Δy\)，故 \(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)=\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0})+Δy]=f(x_{0})+\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}Δy=f(x_{0})+\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=f(x_{0})\)。

因为我们通常用 x 来表示自变量，也就是定义域中的具体数值，而字母只是对具体值的表示，函数则是对定义域中的值与值域中的值之间映射关系的描述，所以换一个字母并不改变函数的内涵，于是我们将 t 换成 x 也就得到了我们想要证明的结论。

可是，由复合函数的极限运算法则：

知，在上面的证明过程中运用复合函数的极限运算法则需要假设极限 \(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\) 存在，是不是存在极限 \(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\) 不存在的情况？

答案是不会，因为假设极限 \(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\) 不存在，即当自变量 \(t\rightarrow x_{0}\)，函数 \(f(t)\rightarrow ∞\)(注意，因为讨论函数在某点连续的前提是假设函数在该点的某一去心邻域有定义，所以这里默认函数在 \(x_{0}\) 的邻域内有定义，也就是说函数极限不存在的情况只能是函数极限为无穷大而不是函数在去心邻域内无定义。这个假设不影响我们讨论函数连续性)，而当 \(f(t)\rightarrow ∞\)，\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0} [f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]\) 也一定为无穷大，所以 \(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0} [f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\) 必定有极限 \(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\) 存在。

好，现在我们已经从 \(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\) 推出 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，接下来我们由 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\) 推 \(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\)：

同样是由复合函数的极限运算法则，若 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)，则有 \(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)-f(x_{0})]=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)+f(x_{0})=0\)（其中将 \(x=x_{0}+Δx\) 视作复合函数极限运算法则之中的中间变量），证毕。

好了，至此我们已经证明了 \(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\) 是 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\) 的充分必要条件。所以可以认为这两种定义是等价的。

因为所学知识有限，基本上只能够解释到这个地方。事实上，这里是否真的等价还是一个值得继续讨论的问题，因为等价实际上有着严格的定义，有兴趣的可以去百科看一下。

不过也罢，毕竟学数学更多地是为了使用，而不是为了追求极致的真理（虽然追求真实也很重要），另外，不见得我们此刻自认为想清楚了一切，关于该问题就不再存在任何疑惑与奥秘，像其他很多理论一样（如果将数学看做是一种理论的话），数学也需要有一个实证的过程，既然这里的两个不同定义已经历过了多年的实证考验而无人有异议，那么它多多少少也算是值得信赖了，这种值得信赖的感觉，对我来说至少已经足够令人感到踏实了。

至于“ε-δ”形式的表述，其实我们完全可以将其表述为下面这一种说法：

对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当 \(0<|x-x_{0}|<δ\) 时，即有 \(|f(x)-f(x_{0})|<ε\)（\(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处有定义且函数值为 \(f(x_{0})\)），可大家都明白，上面的表达方式其实并不简洁，而不够简洁的数学表述不仅不便于交流，而且有时也容易出错，那么，是不是有更简洁的表述方式呢？让我们回到最初形式的定义：

在上面的表述中，前面一部分其实是对图片中方框中的部分也就是 \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\) 的说明，而括号中的部分其实无非就是为了说明上图中的划线部分，也就是 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某一领域内有定义，那么，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\) 已经说明了函数在 \(x_{0}\) 的某一去心邻域内有定义，接下来该如何简单地表达函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处有定义且函数值为 \(f(x_{0})\) 呢，我们都知道，\(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处有定义且函数值为 \(f(x_{0})\) 其实就是 \(f(x)|_{x=x_{0}}=f(x_{0})\)，即 \(f(x)|_{x=x_{0}}-f(x_{0})=0\)，也就是函数在 \(x=x_{0}\) 时有定义，且函数值为 \(f(x_{0})\)，或者说当 \(x-x_{0}=0\)，\(f(x)|_{x=x_{0}}-f(x_{0})=0\)，相信你已经发现了函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 有定义与“ε-δ”形式的表述之间的关系，事实上，对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当 \(|x-x_{0}|<δ\) 时，即有 \(|f(x)-f(x_{0})|<ε\) 意味着，对于任一小的数ε>0，因 \(x-x_{0}=0\) 恒满足 \(|x-x_{0}|<δ\)，故 \(|f(x)-f(x_{0})|<ε\) 恒成立，故当 \(x-x_{0}=0\) 时，\(|f(x)-f(x_{0})|\) 必定为 0，也就是 \(f(x)|_{x=x_{0}}-f(x_{0})=0\)，故该表述与之前不够简洁的说法完全一致。