1_算法概述

【算法定义】

算法是解决特定的问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有序序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

 

【算法的特性】

算法的特性主要包括五个：输入、输出、有穷性、确定性、可行性。

【特性一：输入输出】

算法有0个或多个输入。

算法至少有一个或多个输出。

【特性二：有穷性】

算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无线循环，并且每一个步骤丢在可接受的时间内完成。

【特性三：确定性】

算法的每一步都具有确定的含义，不会出现二义性。

【特性四：可行性】

算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能通过执行有限次数完成。

 

【算法的设计要求】

【要求一：正确性】

算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反应问题的需求、能得到问题的正确答案。

【要求二：可读性】

算法设计的另一个目的就是为了便于阅读、理解和交流。

【要求三：健壮性】

当输入数据不合法的时，算法也能做出相关的处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

【要求四：时间效率高和存储量低】

设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

 

【算法效率的度量方法】

【度量方法一：事后统计方法】

这种方法主要通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

【度量方法二：事前分析估计方法】

在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

 

【函数的渐近增长】

给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

（PS：某个算法，随着n的增大，它会越来越优先于另一种算法，或者越来越差于另一种算法。）

 

【算法的时间复杂度】

在进行算法分析时，语句的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的复杂度，即算法的时间度量，记作：T(n)=O(f(n))。他表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

 

【几个常见的阶】

常数阶：    O(1)                            1+2

线性阶：    O(n)                            2n+3

平方阶：    O(n^2)                        3n^2+2n+1

对数阶：    O(log(n))                      5log2n+20 （这里是2为底数）

nlog2n阶：O(nlogn)                       2n+3nlog2n+19    （这里全部2位底数）

立方阶：    O(n^3)                         6n^3+2n^2+3n+4        

指数阶：    O(2^n)                         2^n 

排序：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

 

【推导大O阶方法】

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3.如果最高阶项存在且不是1，则去除这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

 

【常见的阶处理方法】

比如代码为

for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=i; j<n; j++){
        /*这里是一条时间复杂度为O(1)的程序步骤序列，如x++*/
    }
}

执行的总次数为n+(n-1)+(n-2)+......+1=(½)n^2+(½)n

我们推导大O阶的方法：

第一.没有加法常数不予考虑

第二.只保留最高阶，因此保留(½)n^2

第三.去除这个项相乘的常数，即去除(½)

最终，代码的复杂度为O(n^2)

 

【最坏情况和平均情况】

最坏情况：最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行的时间将不会再坏了。在应用中，这是一种罪重要的需求。通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况情况的运行时间。

平均运行时间：所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

注意：一般在没有特殊情况说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

 

【算法的空间复杂度】

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。