submodular 子模性质

子模的性质（submodular）

若 $$ A \subseteq B \subseteq V ,e \in V - B $$, 则对于集合函数f()，如果：$$ f(A \bigcup { e }) - f(A) >= f(B \bigcup { e }) - f(B)$$ 成立，则说f()函数是子模的。
一句话概括就是增益递减。比如如果Alice每日的早餐食谱如果只有三明治和奶茶，后来添加了培根，他开心增量为x；如果Alice每日的早餐食谱已经有三明治、奶茶、热狗、薯条、圣代，后来添加了培根，他的开心增量为y；显然x > y。“通俗的说就是你把所有商品看成一个集合，随着你所拥有的物品数量的增加，那么你获得剩下物品所得到的满足程度越来越小”。假设你已经有100万资产，通过做生意又挣了100万；再假设你已经有了一千万，通过做生意挣了100万；那么显然前者的收获感强于后者。

例子如下：u = {1,2,3,4,5,6,7,8}，A = {1,2,3}，B = {1,2,3,5,6}，定义f(A) = |A| ，即集合A的元素个数。
所以：f(A+e) - f(A) >= f(B+e) - f(B)，例如e = {3,4,5}，因为 5 - 3 >= 6 - 5。

参考

http://www.myexceptions.net/other/1176522.html
https://www.zhihu.com/question/34720027
http://spiritsaway.info/submodual.html