证明酉矩阵行列式等于1

定义

一实的方阵\(Q\in R^{n*n}\)称为正交矩阵，若\(QQ^T=Q^TQ=I\)。
一复值的方阵\(U\in C^{n*n}\)称为酉矩阵，若\(UU^T=U^TU=I\)。
正交矩阵其实就是实数的酉矩阵。
若U非奇异，则\(U^H=U^{-1}\)时U是酉矩阵。

分析

对任何复矩阵，有\(det(A^HA)=det(A^H)det(A)=det(A)det(A)=|det(A)|^2\)，当方阵A是酉矩阵时，\(A^HA=I\)，而单位矩阵的行列式等于1。因此，\(det(A^HA)=det(I)=|det(A)|^2=1\)，即得到\(det(A)=1\)