高数(下)六类积分
1.二重积分(PDF P150)
几何意义:曲顶柱体的体积、平面薄片的质量∫∫Dμ(x,y) dxdy, μ为密度
形式:∫∫Df(x,y) dxdy, dxdy为面积元素
计算方法:交换积分次序简化、利用对称性、换元法(dxdy -> Jdudv)
极坐标代换(dxdy -> rdr) {x=rcosθ,y=rsinθ}
2.三重积分(P167)
几何意义:物体的质量 ∫∫∫Ω f(x,y,z)dv, f为密度
形式: ∫∫∫Ω f(x,y,z)dv= ∫∫∫Ω f(x,y,z)dxdydz , dv为体积元素,Ω为空间中有界闭区域
计算方法:投影法,截面法,对称性(积分区域对称性,轮换对称性)
柱面坐标代换(dxdydz -> rdrdθdz){x=rcosθ,y=rsinθ,z=z}
球面坐标代换(dxdydz -> r2sinφdrdθdφ){x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ} (0≤θ≤2π,0≤φ≤π)
重积分的应用(P180)
1.几何应用: 平面区域的面积、曲面面积、曲顶柱体的体积
2.物理应用:质心、转动惯量、引力
空间曲面的曲面面积:S=∫∫D√(1+zx2+zy2)dxdy
质心:xc=∫∫D x*μ(x,y) dσ / ∫∫Dμ(x,y) dσ , yc=∫∫D y*μ(x,y) dσ / ∫∫Dμ(x,y) dσ
转动惯量: 对x轴的转动惯量 Ix= ∫∫D y2*μ(x,y) dσ, 对y轴的转动惯量 Iy= ∫∫D x2*μ(x,y) dσ
空间立体对单位质量的质点的引力:Fx = G ∫∫∫Ω ρ(x,y,z)x / r3 dV, Fy = G ∫∫∫Ω ρ(x,y,z)y / r3 dV, Fz = G ∫∫∫Ω ρ(x,y,z)z/ r3 dV
3.第一型曲线积分(P194)
几何意义:曲线的质量 m = ∫L μ(x,y)dS
形式: ∫L f(x,y)dS
计算方法:用参数方程
4.第一型曲面积分(P224)
几何意义: 曲面的面积,m = ∫∫S μ(x,y,z) dS, dS曲面微元
形式:∫∫Σf(x,y,z)dS
计算方法:1.曲面投影到平面,2.被积函数三元变两元,3. 曲面微元变为曲面面积
5.第二型曲线积分(P200)
几何意义:变力沿曲线所做的功
形式:∫L Pdx+Qdy (有方向)
计算方法:平面封闭曲线上用格林公式,
当Px=Qy,与积分路径无关,选取折线路径计算
6.第二型曲面积分(P229)
几何意义:流向曲面一侧的流量
形式:∫∫ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫Σ (Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
计算方法:合一投影法、分面投影法、高斯公式