高数(下)六类积分

1.二重积分(PDF P150)

几何意义:曲顶柱体的体积、平面薄片的质量∫∫Dμ(x,y) dxdy, μ为密度

形式:∫∫Df(x,y) dxdy, dxdy为面积元素

计算方法:交换积分次序简化、利用对称性、换元法(dxdy -> Jdudv)

      极坐标代换(dxdy -> rdr) {x=rcosθ,y=rsinθ}

 

2.三重积分(P167)

几何意义:物体的质量 ∫∫∫Ω f(x,y,z)dv, f为密度

形式: ∫∫∫Ω f(x,y,z)dv= ∫∫∫Ω f(x,y,z)dxdydz , dv为体积元素,Ω为空间中有界闭区域 

计算方法:投影法,截面法,对称性(积分区域对称性,轮换对称性)

     柱面坐标代换(dxdydz -> rdrdθdz){x=rcosθ,y=rsinθ,z=z}

     球面坐标代换(dxdydz -> r2sinφdrdθdφ){x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ}  (0≤θ≤2π,0≤φ≤π)

 

重积分的应用(P180)

1.几何应用: 平面区域的面积、曲面面积、曲顶柱体的体积

2.物理应用:质心、转动惯量、引力

空间曲面的曲面面积:S=∫∫D√(1+zx2+zy2)dxdy

质心:xc=∫∫D x*μ(x,y) dσ /  ∫∫Dμ(x,y) dσ  , yc=∫∫D y*μ(x,y) dσ /  ∫∫Dμ(x,y) dσ

转动惯量: 对x轴的转动惯量 Ix= ∫∫D y2*μ(x,y) dσ, 对y轴的转动惯量  Iy= ∫∫D x2*μ(x,y) dσ

空间立体对单位质量的质点的引力:Fx = G ∫∫∫Ω ρ(x,y,z)x / rdV,  Fy = G ∫∫∫Ω ρ(x,y,z)y / rdV, Fz = G ∫∫∫Ω ρ(x,y,z)z/ rdV

 

3.第一型曲线积分(P194)

几何意义:曲线的质量 m = ∫L μ(x,y)dS

形式: ∫L f(x,y)dS

计算方法:用参数方程  

 

4.第一型曲面积分(P224)

几何意义: 曲面的面积,m = ∫∫S μ(x,y,z) dS, dS曲面微元

形式:∫∫Σf(x,y,z)dS

计算方法:1.曲面投影到平面,2.被积函数三元变两元,3. 曲面微元变为曲面面积

 

5.第二型曲线积分(P200)

几何意义:变力沿曲线所做的功

形式:∫L Pdx+Qdy  (有方向)

计算方法:平面封闭曲线上用格林公式,

     当Px=Qy,与积分路径无关,选取折线路径计算

 

6.第二型曲面积分(P229)

几何意义:流向曲面一侧的流量

形式:∫∫ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫Σ (Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS 

计算方法:合一投影法、分面投影法、高斯公式  

 

posted @ 2020-05-03 15:30  inss!w!  阅读(3703)  评论(0编辑  收藏  举报