偏微分方程(PDE)的初步认识与机器学习

首先PDE是将所有变量联系在一起的一个方程，比如最简单的x = vt + (1/2)at^2， 其实可以写成x = v * t + (1/2) * (d^2x / dt^2) * t^2。这是一个常微分方程，它的解析解是x = (1/2) * a * t^2， 也就是当物体做匀加速运动时，就满足该常微分方程。虽然是ODE，但是思想与PDE差不多是一致的，它将每个变量都联系在了一起。

而关于上一段中提到的解析解，有的微分方程时不存在解析解的，我们只能在数字上逼近这一解，如微积分课程中所学的梯形法、抛物线法来逼近某图像的面积来求得近似解，这样所求的解也叫做数值解。

那对于PDE，如自变量为两个时（假设是空间和时间），这也就取决于需要求解时的状态，因此物理化学模型中经常出现偏微分方程，这些方程往往没有解析解（可能是因为存在边界条件等某些原因），因此在机器学习中，我们要做的是无限逼近该偏微分方程的数值解，例如对于任何一个偏微分方程，将其中的每个微分算子（D，D^2等）都看作是机器学习中所说的“权重”，因此经过不断的训练即可得到y = f(x)这样的表达式，也就完成了对偏微分方程的数值解求解。

其实我认为这一种数值解求解并不能叫做“解”偏微分方程，更应该叫做“模拟”偏微分方程，通过不断训练得到一个良好的模型来预测材料的性质y。