用群论解释旋转的本质

首先，老规矩：

未经允许禁止转载(防止某些人乱转，转着转着就到蛮牛之类的地方去了)

B站:Heskey0

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三维旋转的表示方法有：

• 旋转矩阵
• 四元数
• 旋转向量
• 欧拉角

旋转矩阵：

\(SO(3)\) 三维特殊正交群就是一个李群，微分同胚于三维实射影空间

四元数：

2范数为1的四元数微分同胚与二维特殊酉群，\(SU(2)\)是一个李群，它在结构上同构于三维球面\(SU(2)\simeq S^3\)，三维球面本身就是旋转的集合，所以可以用四元数表示旋转。

优缺点：

• 旋转矩阵不需要频繁用Rodriguez公式，但占空间。

• 四元数方便做旋转插值，四元数仅仅存四个数就可以，比存储李群那样的矩阵要方便一些

• 旋转向量虽然是最小表示，但真正在做向量旋转时候还是要用旋转矩阵，所以还是要把旋转向量通过Rodriguez公式变为旋转矩阵，而四元数有现成的运算

• 欧拉角方便理解，但是万向节死锁

资料

• 旋转矩阵和四元数自由度都是3

• SU(2)是个李群。和SU(2)微分同胚的是单位四元数群。

• 单位四元数群的李代数是以四元数乘法为李括号的“纯虚四元数“