1972年美国数学奥林匹克P2：空间几何不等式(?)

题目已知一个四面体

A B C D

$ABCD$ 满足

A B = C D,

$AB=CD,$

A C = B D,

$AC=BD,$

A D = B C .

$AD=BC.$ 求证：该四面体的各面都是锐角三角形.

证明假设某个面不为锐角三角形, 不妨设

∠ A B C

$\angle ABC$ 为钝角或直角, 取

A C

$AC$ 的中点为

E,

$E,$ 则由中线长公式

\begin{aligned} B E = \frac{1}{2} \sqrt{2 (A B^{2} + B C^{2}) - A C^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align*} BE=\dfrac{1}{2}\sqrt{2(AB^2+BC^2)-AC^2}, \end{align*}$ 同理

D E = B E,

$DE=BE,$ 因此由三角不等式和非锐角三角形的性质,

\begin{aligned} A C = B D < B E + D E = \sqrt{2 (A B^{2} + B C^{2}) - A C^{2}} \leq \sqrt{2 A C^{2} - A C^{2}} = A C . \end{aligned}

$\begin{align*} AC=BD < BE+DE=\sqrt{2(AB^2+BC^2)-AC^2}\leq\sqrt{2AC^2-AC^2}=AC. \end{align*}$ 矛盾, 故假设不成立, 结论得证.

posted @ 2024-11-13 15:57 HenryYang2001 阅读(14) 评论(0) 编辑收藏举报

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