1972年美国数学奥林匹克P2：空间几何不等式(?)
题目 已知一个四面体$ABCD$满足$AB=CD,$ $AC=BD,$ $AD=BC.$ 求证：该四面体的各面都是锐角三角形.
证明 假设某个面不为锐角三角形, 不妨设$\angle ABC$为钝角或直角, 取$AC$的中点为$E,$ 则由中线长公式\begin{align*} BE=\dfrac{1}{2}\sqrt{2(AB^2+BC^2)-AC^2}, \end{align*} 同理$DE=BE,$ 因此由三角不等式和非锐角三角形的性质, \begin{align*} AC=BD < BE+DE=\sqrt{2(AB^2+BC^2)-AC^2}\leq\sqrt{2AC^2-AC^2}=AC. \end{align*} 矛盾, 故假设不成立, 结论得证.
证明 假设某个面不为锐角三角形, 不妨设$\angle ABC$为钝角或直角, 取$AC$的中点为$E,$ 则由中线长公式\begin{align*} BE=\dfrac{1}{2}\sqrt{2(AB^2+BC^2)-AC^2}, \end{align*} 同理$DE=BE,$ 因此由三角不等式和非锐角三角形的性质, \begin{align*} AC=BD < BE+DE=\sqrt{2(AB^2+BC^2)-AC^2}\leq\sqrt{2AC^2-AC^2}=AC. \end{align*} 矛盾, 故假设不成立, 结论得证.
