随笔分类 - 6 赛事
摘要：题目 求所有的正实数$\lambda,$ 使得满足对于任意$n\geq 2024^{2024},$ $$a_{n+1}=\lambda\cdot \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$的正实数序列$\{a_n\}$总是有界的. 解 $0 方便起见, 我们记$N=2024^{2
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摘要：题目 求最大的实数$\alpha$, 使得对于任意非负实数$x,y,z,$ 下面的不等式恒成立： \begin{align*} (x+y+z)^3+\alpha(x^2z+y^2x+z^2y)\geq\alpha(x^2y+y^2z+z^2x).\end{align*} 解 $\alpha_{\ma
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摘要：题目 正实数$a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$被写在黑板上. 一步操作包括选择黑板上的两个数$x$和$y,$擦除它们, 并在黑板上写下数字 $\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}$. 经过$2023$步操作后, 黑板上只剩下一个数$c.$ 证明：$c 证明 注意到\
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摘要：题目 设 $\mathbb{R}^+$为所有正实数构成的集合. 求所有函数$f: \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,$ 使得对于所有满足$abc=1$的$a,b,c \in \mathbb{R}^+,$ 有 \[ \frac{f(a)}{1+a+ca}+\frac{f(b)}{
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摘要：题目 已知$\alpha$是一个非零实数. 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ 使得对任意$x,y\in\mathbb{R},$ 有$$xf(x+y)=(x+\alpha y)f(x)+xf(y).$$ 解 当$\alpha=2$时, $f(x)=cx^2,$ $c$
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摘要：题目 考虑方程组\begin{align*} \begin{cases} x+y=z+u,\\ 2xy=zu. \end{cases} \end{align*} 求实常数$m$的最大可能值, 使得对于上述方程组满足$x\geq y$的正整数解$(x,y,z,u),$ 总有$\dfrac{x}{y}\
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摘要：题目 楔形体是三角形面互相全等的四面体. 一个楔形体的面是边长为整数的各边不等的三角形, 那么它的总表面积最小为 $\textbf{(A) }\sqrt{3}\qquad\textbf{(B) }3\sqrt{15}\qquad\textbf{(C) }15\qquad\textbf{(D) }15
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摘要：题目 下图是一个宽$8$英寸, 高$3$英寸的点阵, 由$1$英寸乘以$1$英寸的正方形组成. Carl将$1$英寸的牙签插在方格的一些边上, 以形成一个不相交的闭合环. 单元格中的数字表示该正方形中要用牙签覆盖的边的数量, 如果没有写数字, 则允许用任意数量的牙签. Carl放置牙签的方法种数为
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摘要：题目 已知一个四面体$ABCD$满足$AB=CD,$ $AC=BD,$ $AD=BC.$ 求证：该四面体的各面都是锐角三角形. 证明 假设某个面不为锐角三角形, 不妨设$\angle ABC$为钝角或直角, 取$AC$的中点为$E,$ 则由中线长公式\begin{align*} BE=\dfrac{
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摘要：题目 表达式\[\tan^2 \frac {\pi}{16} \cdot \tan^2 \frac {3\pi}{16} + \tan^2 \frac {\pi}{16} \cdot \tan^2 \frac {5\pi}{16}+\tan^2 \frac {3\pi}{16} \cdot \tan
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摘要：题目 设数列$\{a_n\}$的首项为$a_1=2,$ 且当$n\geq2$时满足递推关系式$\dfrac{a_n-1}{n-1}=\dfrac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}.$ 则不大于$\displaystyle{\sum_{n=1}^{100}a_n^2}$的最大整数为 $\text
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摘要：题目 满足$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$的图像关于直线$y=x$对称, $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ 且$c,d$不全为$0$的整数组$(a,b,c,d)$个数为 $\textbf{(A) }1282\qquad\textbf{(B) }1292\qquad\textbf
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摘要：题目 已知整数$n\geq2$, 实数$x_1, x_2, \cdots, x_n$满足 $x_1+x_2+\cdots+x_n=0,$ 且 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1.$ 对每个集合$A\subseteq\{1, 2, \cdots, n\}$, 定义$\display
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摘要：题目 求最小的实常数$C,$ 使得对于任意实数$X,Y,$ 不等式 \[(X+Y)^2(X^2+Y^2+C)+(1-XY)^2 \ge 0\]恒成立. 并求出$C$取最小值时, 使得等号成立的实数$X$和$Y$的值. 思路 不等式比较明显地能够写成参变量分离的形式. 因为$X+Y=0$时, $XY$
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摘要：题目 设正整数$a,b,c,d$同时满足条件： (1)$a+b+c+d=2023;$ (2)$ab+ac+ad+bc+bd+cd$是$2023$的倍数; (3)$abc+bcd+cda+dab$是$2023$的倍数. 求证：$abcd$是$2023$的倍数. 提示 很容易考虑$2023$的质因数分解
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摘要：题目 如图, 在锐角三角形$ABC$中, $AB 证法1解析 注意到已知条件和鸡爪圆很容易找到$\triangle BNE\cong\triangle EMI.$ 要证$DF\perp FG,$ 又因为$DE$为直径, 故只需证明$A,F,D,G$共圆, 而$A,G,M,D$显然共圆, 故只需要证明
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摘要：题目 设$m,n$是给定的整数, $m\geq n\geq3.$ 求具有下述性质的最小正整数$k$：若将$1,2,\cdots,k$中的每个数任意染为红色或者蓝色, 则或者存在$m$个红色的数$x_1,x_2,\cdots,x_m$(允许相同), 满足$x_1+x_2+\cdots+x_{m-1}
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摘要：题目 设非负实数$a_1,a_2,\cdots,a_{2023}$满足$a_1+a_2+\cdots+a_{2023}=100.$ 定义$N$为集合$$S=\{(i,j)|1\leq i\leq j\leq 2023,a_ia_j\geq1\}$$的元素个数. 求证：$N\leq 5050,$ 并给
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摘要：题目 求具有下述性质的最小正整数$k$：若将$1,2,\cdots,k$中的每个数任意染为红色或者蓝色, 则或者存在$9$个不同的红色的数$x_1,x_2,\cdots,x_9$满足$x_1+x_2+\cdots+x_8 思路 我们自然考虑问题的反面. 问题' 求具有下述性质的最大正整数$k$：对于
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