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题目 考虑方程组\begin{align*} \begin{cases} x+y=z+u,\\ 2xy=zu. \end{cases} \end{align*} 求实常数$m$的最大可能值, 使得对于上述方程组满足$x\geq y$的正整数解$(x,y,z,u),$ 总有$\dfrac{x}{y}\ 阅读全文
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题目 楔形体是三角形面互相全等的四面体. 一个楔形体的面是边长为整数的各边不等的三角形, 那么它的总表面积最小为 $\textbf{(A) }\sqrt{3}\qquad\textbf{(B) }3\sqrt{15}\qquad\textbf{(C) }15\qquad\textbf{(D) }15 阅读全文
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题目 下图是一个宽$8$英寸, 高$3$英寸的点阵, 由$1$英寸乘以$1$英寸的正方形组成. Carl将$1$英寸的牙签插在方格的一些边上, 以形成一个不相交的闭合环. 单元格中的数字表示该正方形中要用牙签覆盖的边的数量, 如果没有写数字, 则允许用任意数量的牙签. Carl放置牙签的方法种数为 阅读全文
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题目 已知一个四面体$ABCD$满足$AB=CD,$ $AC=BD,$ $AD=BC.$ 求证：该四面体的各面都是锐角三角形. 证明 假设某个面不为锐角三角形, 不妨设$\angle ABC$为钝角或直角, 取$AC$的中点为$E,$ 则由中线长公式\begin{align*} BE=\dfrac{ 阅读全文
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题目 表达式\[\tan^2 \frac {\pi}{16} \cdot \tan^2 \frac {3\pi}{16} + \tan^2 \frac {\pi}{16} \cdot \tan^2 \frac {5\pi}{16}+\tan^2 \frac {3\pi}{16} \cdot \tan 阅读全文
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题目 设数列$\{a_n\}$的首项为$a_1=2,$ 且当$n\geq2$时满足递推关系式$\dfrac{a_n-1}{n-1}=\dfrac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}.$ 则不大于$\displaystyle{\sum_{n=1}^{100}a_n^2}$的最大整数为 $\text 阅读全文
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题目 满足$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$的图像关于直线$y=x$对称, $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ 且$c,d$不全为$0$的整数组$(a,b,c,d)$个数为 $\textbf{(A) }1282\qquad\textbf{(B) }1292\qquad\textbf 阅读全文
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定理 设$\xi$为非负随机变量, $\alpha>0,$ 则对于任意正数$m>0$有\begin{align*} \mathbb{E}(\xi^{\alpha})\geq m^{\alpha}\mathbb{P}(\{\xi\geq m\}). \end{align*} 其中$\mathbb{E} 阅读全文
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题目 已知整数$n\geq2$, 实数$x_1, x_2, \cdots, x_n$满足 $x_1+x_2+\cdots+x_n=0,$ 且 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1.$ 对每个集合$A\subseteq\{1, 2, \cdots, n\}$, 定义$\display 阅读全文
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题目 求最小的实常数$C,$ 使得对于任意实数$X,Y,$ 不等式 \[(X+Y)^2(X^2+Y^2+C)+(1-XY)^2 \ge 0\]恒成立. 并求出$C$取最小值时, 使得等号成立的实数$X$和$Y$的值. 思路 不等式比较明显地能够写成参变量分离的形式. 因为$X+Y=0$时, $XY$ 阅读全文