拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法

感觉很神奇啊。

这个东西可以求多元函数在某种限制下的极值。

这个东西好像可以把 \(n\) 元函数和 \(k\) 个限制转化为一个 \(n+k\) 元函数。

形式化的说，若我们要求 \(f(p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_n)\) 的极值，且有 \(k\) 个附加条件形如 \(g_k(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_n)\)，则我们可以构造一个函数：

\[\begin{aligned} &F(p_1,p_2,\cdots p_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_k)\\ =&f(p_1,p_2,\cdots p_n)+\lambda_1g_1(p_1,p_2,\cdots p_n)+\lambda_2g_2(p_1,p_2,\cdots p_n)+\cdots+\lambda_kg_k(p_1,p_2,\cdots p_n) \end{aligned} \]

根据多元函数的极值的定义，极值点的必要条件是每一个变量的偏导数为零。

对于限制条件，偏导数为零即是满足了这个限制条件。

这样我们可以得到若干个方程，这样解出的点就是原函数在限制条件下可能的驻点。

根据实际问题即可确定这些点是否是我们所求的点。

证明不会。