Hall 定理

Hall 定理

完美匹配：设 \(M\) 是二分图 \(G(V_1,V_2,E)(|V_1|\le|V_2|)\) 的一个匹配，若 \(\forall v_i\in V_1,\exist k\in V_2,(v_i,k)\in M\)，则称 \(M\) 为 \(G\) 的一个完美匹配。

Hall 定理：对于一个二分图 \(G(V_1,V_2,E)(|V_1|\le|V_2|)\)，对于\(\forall X\subseteq V_1\)，定义 \(N(X)=\{v_j|(v_i,v_j)\in E,v_j\in V_2,v_i\in X\}\)。其存在 \(V_1\) 的完美匹配的充要条件为 \(\forall X\subseteq V_1,|X|\le |N(X)|\)。

证明：

必要性显然，因为一个点至少需要一个匹配点。下面证明充分性。

若一个二分图 \(G\) 不存在完美匹配，但满足 Hall 定理。

设其最大匹配为 \(M\)，其对应的点集为 \(X,Y(|X|\le |Y|)\)。

则一定可以从某个点 \(v_i\notin X\) 出发，由于满足 Hall 定理，这条路一定能够遍历 \(Y\) 中的 \(|X|+1\) 个点，即我们找到了一条增广路。与 \(M\) 是最大匹配的假设矛盾。故得证。

推论：一个二分图的最大匹配大小为 \(|V_1|-\max_{S \subseteq V_1}\{|S|-|N(S)|\}\)。

证明：事实上我们只需要证明 \(\max_{S \subseteq V_1}\{|S|-|N(S)|\}\) 为 \(V_1\) 中非匹配点的个数。

显然 \(\max_{S \subseteq V_1}\{|S|-|N(S)|\}\) 小于等于 \(V_1\) 中非匹配点的个数，则我们只需要证明能够取等。

考虑构造 \(V_1\) 的子集 \(Q\)，使 \(\max_{S \subseteq V_1}\{|S|-|N(S)|\}=|Q|-|N(Q)|\)。首先向其加入所有 \(V_1\) 中的非匹配点，若 \(|N(Q)|=0\)，则 \(\max_{S \subseteq V_1}\{|S|-|N(S)|\}=|Q|-|N(Q)|\)。

否则，\(N(Q)\) 中一定存在点在最大匹配中，我们将这些点在 \(V_1\) 的匹配点加入 \(Q\)。若加入后 \(N(Q)\) 的大小发生变化，那么新增的点仍然是最大匹配中的点（否则我们找到了一条增广路，与最开始非匹配点的假设矛盾） ，将这些新增点在 \(V_1\) 的匹配点加入 \(Q\)。

如此反复，一定能够构造出一个集合使得 \(|Q|-|N(Q)|\) 等于非匹配点的个数，因为每次 \(Q\) 与 \(N(Q)\) 都增加了同样的点数。

得证。

变符号可得 \(|V_1|+\min_{S \subset V_1}\{|N(S)|-|S|\} \iff |V_1|-\max_{S \subseteq V_1}\{|S|-|N(S)|\}\)。