莫比乌斯反演
莫比乌斯反演
（难得百度爬虫对我这篇垃圾的待重写博客这么友好，赶快重写了）
（还没写完呢，只是重写了之前的内容，还有新增。 2020.05.11）
前置芝士
极高的数学造诣与不怕劳累的精神
正文
莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。——「百度百科」
考虑这样两个函数 \(F(n),f(n)\)，它们的关系是 \(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)。
我们可以手模出一些函数值如：
\(F(1)=f(1)\)
\(F(2)=f(1)+f(2)\)
\(F(3)=f(1)+f(3)\)
\(F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)\)
我们尝试用 \(F(n)\) 来表示 \(f(n)\)。
\(f(1)=F(1)\)
\(f(2)=F(2)−F(1)\)
\(f(3)=F(3)-F(1)\)
\(f(6)=F(6)−F(3)−F(2)+F(1)\)
我们发现存在一个这样的关系式：\(f(n)=\sum_{d|n}F(d)\cdot \alpha(d)\),其中 \(\alpha(d)\) 是一个与 \(d\) 有关的函数。
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莫比乌斯函数
定义 \(\mu(n)\) 为 \(n\) 的莫比乌斯函数。则有
\[\mu(n)= \begin{cases} 1 & n=1\\ (-1)^k & n=p_1p_2p_3...p_k,p_i \text{ 为 } n \text{ 的质因子且两两互素} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]性质一：莫比乌斯函数是积性函数，即对于 \(gcd(a,b)=1\)，有 \(\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)\)。
这个感觉挺显然的啊。
根据这个性质我们可以用用线性筛在 \(O(n)\) 的时间内筛出 \(1 \sim n\) 内所有莫比乌斯函数的值。
性质二：对于任意正整数 \(n\)，有
\[\sum_{d|n}\mu(d)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &n>1 \end{cases} \]证明：一个数 \(n\) 的莫比乌斯函数值不为 \(0\) 当且仅当 \(n\) 其质因数分解后所有质因子次数均为 \(1\)。设 \(n\)以内共有质数 \(k\) 个，则含 \(r\) 个质因子的数有 \(\binom k r\) 个。
于是有 \(\sum_{d|n}\mu(d)=\binom k 0-\binom k 1+\binom k 2+...+(-1)^k\binom k k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom k i\)
利用二项式定理可得 \(\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom k i=\sum_{i=0}^{k}\binom k i(-1)^i1^i=(-1+1)^k=0\)，证毕。
猜想莫比乌斯函数与 \(\alpha(d)\) 的关系。
发现在 \(f(3)\) 与 \(f(6)\) 的表达式当中 \(F(1)\) 的系数不相同，于是我们猜想 \(\alpha(d)=\mu(\frac n d)\)。
即
考虑证明。
注意到 \(\frac n d \cdot d\) 为定值，所以原式可变形为
我们将 \(F(\frac n d)\) 进行套娃代换，有
根据实际意义我们可以发现 \(d|n\) 且 \(i|\frac n d\) 与 \(d\cdot i|n\) 等价，即我们只需要保证 \((\mu(d),F(i))\) 都被统计到答案里面。于是我们将原式进行变形有
交换内外层和式，有
根据整除的实际意义继续变换，有
根据上文提及的性质二，有
于是有
得证。
这就是莫比乌斯反演。
莫比乌斯反演的另一种基本形式
可以用类似的方法证明得到。
这只是一种证明方式，还可以用狄利克雷卷积证明，下次继续写。
未完待续。
