变换模型——仿射变换和透射变换

仿射变换是投射变换的一个特例

仿射变换：6参数

投射变换：8参数

仿射变换：包括线性变换（旋转、剪切、缩放）及平移；特点：平行的线变换后依然保持平行。任意的仿射变换都能表示为乘一个矩阵(线性变换)，再加一个向量 (平移) 的形式． 

透射变换：利用透视中心、像点、目标点三点共线原理，从一个平面投影到另一个视平面。特点：投影变换后的线不一定保持平行，对图形的扭曲能力更强。也被称为投影变换、共线性或单应性

一、仿射变换

1、概念

       仿射变换（Affine Transformation）是空间直角坐标系的变换，从一个二维坐标变换到另一个二维坐标，仿射变换是一个线性变换，他保持了图像的“平行性”和“平直性”，即图像中原来的直线和平行线，变换后仍然保持原来的直线和平行线，仿射变换比较常用的特殊变换有平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。

       

图1.仿射变换

     2、仿射变换的变换公式推导

      

        在opencv提供的仿射变换中，变换的公式是一个2*3的矩阵，如下：

，，

    A是仿射变换2*3矩阵，M是2*2矩阵，表示坐标轴的旋转和缩放，B是2*1矩阵，是坐标轴平移矩阵。

    坐标变换如下：

，

    可以看出，A矩阵只有6个参数，所以只要知道3个点之间的仿射变换，就可以求出A矩阵。

二、透视变换

 透视变换（Perspective Transformation)是指利用透视中心、像点、目标点三点共线的条件，按透视旋转定律使承影面（透视面）绕迹线（透视轴）旋转某一角度，破坏原有的投影光线束，仍能保持承影面上投影几何图形不变的变换。

图2.透视变换

透视变换(Perspective Transformation)是将图片投影到一个新的视平面(Viewing Plane)，也称作投影映射(Projective Mapping)。通用的变换公式为：

u,v是原始图片左边，对应得到变换后的图片坐标x,y,其中。
变换矩阵可以拆成4部分，表示线性变换，比如scaling，shearing和ratotion。用于平移，产生透视变换。所以可以理解成仿射等是透视变换的特殊形式。经过透视变换之后的图片通常不是平行四边形（除非映射视平面和原来平面平行的情况）。

重写之前的变换公式可以得到：

所以，已知变换对应的几个点就可以求取变换公式。反之，特定的变换公式也能新的变换后的图片。简单的看一个正方形到四边形的变换：
变换的4组对应点可以表示成：

根据变换公式得到：

定义几个辅助变量：

都为0时变换平面与原来是平行的，可以得到：

不为0时，得到：

求解出的变换矩阵就可以将一个正方形变换到四边形。反之，四边形变换到正方形也是一样的。于是，我们通过两次变换：四边形变换到正方形+正方形变换到四边形就可以将任意一个四边形变换到另一个四边形。

所以，我们可以发现仿射变换就是特殊的透射变换，这里我们在理解它们的变换矩阵时一定要将矩阵分部分析，比如之前的一部分是用来旋转和缩放，一部分是用来平移，还有一部分是用来透射；

之前的（x , y , w）中，w的意义我觉得它就是指投影点到面上的“距离”，这里之所以打引号我个人认为它不是物理距离，更多的带有一种数学上的“单位1”的意义；

两者异同：

所以对于仿射变换，一般地w = w' ， 也就是依然是这个平面，所以就相当于一个2D平面变换（忽略了投影点）；

对于透射变换，一般的w' = f(w) ， f即相应的透射变换，所以这里就是投影点通过这个面投射到另一个承影面，这里投影点就显示了它的功能，所以我们说仿射变换是特殊的透射变换；

OpenCV还提供了getPerspectiveTransform()函数及findHomography()的函数两个函数寻找变换公式，前者用点来找，后者直接用透视平面来找变换公式。