10.20模拟赛 序列

10.20模拟赛 序列

题意

给出长度为 \(n\) 的序列 ， 对所有 \(K\in[1,N]\) 求出长度为 \(K\) 的子序列的权值最大值。

\(1 \leq n \leq 2\times10^5\)

解法

这个东西是长得比较奇怪的 \((max,+)\) 卷积。考虑怎么优化。

对于 \(O(n^2)\) 就维护 \(f(i,j)\) 表示目前处理到序列的第 \(i\) 个元素，子序列长度为 \(j\) 的权值最大值。然后我们一个一个向内部加入元素，转移就是 \(f(i,j) = \max \{f(i-1,j),f(i-1,j-1) ±a_i\}\)。

这个暴力就是普通的 \((max,+)\) 卷积。总质量和单个物品质量没有什么特殊性质，接下来只剩下凸性这条路径了。

接下来，我们将证明 \(K\) 的奇偶分开后，在 \(i\) 固定的情况下 \(f(i,K)\) 是满足凸性的。

这里只证明偶数的情况，奇数的情况可以以此类推。

因为这里是偶数间的转移，所以我们加入物品可以视作两个两个加入。

我们将 \(f(i,K)\) 的选择序列进行划分。

假设原选择序列为

\[A_{i_1},A_{i_2},A_{i_3},A_{i_4},...,A_{i_{k-1}},A_{i_k} \]

偶数位置贡献为负数，奇数位置贡献为正数。我们插入两个元素\(A_l,A_r\)，即加上 \(A_l - A_r\) 然后将 \((l,r)\) 内的所有元素取个反。

把贡献拆开来，变成取反 \([1,r]\) 然后取反 \([1,l]\).

设目前填的序列中 \(g(x)\) 为 \([1,x]\) 的贡献。

那么贡献即为 \(A_l + g(l) - A_r - g(r)\). 我们每次选择最大权值的 \(l\) 和最小权值的 \(r\) 即可。

接着我们只需证明对于 \(g(l) - g(r) (1\leq l \leq r \leq n)\) 具有单调递减的性质，即可得知每次新的贡献与整个 \(f\) 同样具有凸性。

我们发现当贡献产生在 l 左侧或 r 右侧时，该值不变。
当贡献产生在中间时才能产生贡献。
设产生影响的点为 \(j\)
那么 \((l,j)\) 间的取反才会产生贡献。若 \((l,j)\) 间的取反产生的贡献为正。那么对于先前的决策而言，加入 \((l,r)\) 并没有加入 \((l,j)\) 优秀。

因此我们取反产生的 \(( g(l) - g(r) )\) 总为负数。凸性得证

知道了凸性，我们考虑利用这个性质。

然后我们进一步分析转移。

我们先写出较为暴力的形式

其中 \(f(x),g(x)\) 表示长度为 \(x\) 的子序列的权值最大值和最小值

考虑如何合并左右两个区间

\[\left\{\begin{matrix} f'(K) = \max\{\max_{i+j=k,\text{i is odd} }\{ f_l(i) - g_r(j)\} , \max_{i+j=k,\text{i is even} }\{ f_l(i) + f_r(j)\}\}\\ g'(K) = \min\{\min_{i+j=k,\text{i is odd} }\{ g_l(i) - f_r(j)\} , \min_{i+j=k,\text{i is even} }\{ g_l(i) + g_r(j)\}\} \end{matrix}\right. \]

由于这个是凸的，因此差分数组单调，使用two pointer即可优化合并凸壳至线性。
利用合并线性的性质，我们结合分治，就可以做到 \(O(nlogn)\) 的优质复杂度。

代码