【补题】Seg 贪心+均摊+性质+妙妙题

题意

给定序列 \(A\) , 定义 \(f(A)\) 为序列 \(A\) 的最大非空子段和。
你可以花费 \(1\) 的代价，令 \(A\) 中某个元素 \(a_i\) 减一。
\(g(i)\) 的值为花费了 \(i\) 的代价后最小的 \(f(A')\)。
求\(\sum _{i=1} ^K g(i)\)
其中 \(1 \leq n \leq 2 \times 10^{5},-10^{8} \leq a_{i} \leq 10^{8}, 1 \leq K \leq 10^{13}\)

做法

考虑如何求出单个 \(g(k)\) 。
考虑二分答案。
设 \(S\) 为 \(A\) 的前缀和数组，目前枚举的答案为 \(w\) 。接下来就是如何判定。
花费代价可以转化成 \(S\) 后缀减一，则现在就是判定是否存在一种方案使得 \(\forall i<j,a_j-a_i\leq w\)。

考虑从前往后贪心。设 \(lim\) 为后面的数不能超过的阈值。
若 \(lim \leq a_i\)，则进行 \(a_i-lim\) 次操作，然后令 \(lim=min(lim,a_i+w)\)。
其实不必显式计算出 \(lim\) 的值，直接令 \(lim=a_i\) 即可。（因为花费代价的操作为后缀减)
上述贪心不难证明。

我们发现，随着 \(k\) 的增大，原函数 \(g\) 的减小将越来越难。且使 \(g(i)\) 减少 \(1\) 的代价最多不超过 \(n\)
一个极端的情况是，若全部的 \(a_i\) 均为同一负数，则减小 \(1\) 的代价即为 \(O(n)\) 的。
因此二分出代价区间即可。
时间复杂度 \(O(n^2logw)\)

这还是太慢了...考虑去除冗余计算，我们的 \(lim\) 重复计算太多次了。

考虑如何一次计算对于 \(w\) 的代价。操作仅有两种
\(A(w):=A(w)+\max \left(0, a_{i}-L(w)\right), L(w):=\max \left(a_{i}, L(w)\right); \\ L(w):=\min \left(L(w), w+a_{i}\right)\)
然后大力维护即可