第三节 数学预备知识

 集合(Set)

由一些确定的、彼此不同的成员(Member)或者元素(Element)构成的一个整体。成员取自一个更大的范围，称为基类型(Base Type)。集合中成员的个数称为集合的基数(Cardinality)。

例如，集合 R 由整数 3、 4、 5 组成，写成 R={3， 4， 5}。

此时R的成员是 3、4、 5， R 的基类型是整型，R的基数是3。

依赖于集合的基类型，它的成员经常有一个线性顺序。

集合的成员叫做该集合的子集(Subset)，子集中的每个成员都属于该集合。

没有元素的集合称为空集(Empty Set,又称为 Null Set)， 记作Φ。

如上例中， 3 是R 的成员，记为： 3∈R， 6不是R的成员，记为： 6∉R。 {3， 4}是 R 的子集。

 

集合的表示法

1) 穷举法： S＝{2， 4， 6， 8， 10}；

2) 描述法： S＝{x|x 是偶数，且 0≤x≤10}。

 

3、 集合的特性

1) 确定性：任何一个对象都能被确切地判断是集合中的元素或不是；

2) 互异性：集合中的元素不能重复；

3) 无序性：集合中元素与顺序无关。

 

计量单位(Unit)： 按照IEEE规定的表示法标准，字节缩写为“ B”，位缩写为“ b”，兆字节(220字节)缩写为缩写为“ MB”，千字节(210字节)缩写为“ KB”。

 

阶乘函数Factorial Function

阶乘函数 n!是指从 1 到 n 之间所有整数的连乘，其中 n 为大于 0 的整数。因此， 5!=1*2*3*4*5=120。特别地， 0!=1。

 

取下整和取上整(Floor and Ceiling)：

实数 x 的取下整函数(Floor)记为⌊x⌋，返回不超过 x 的最大整数。例如， ⌊3.4⌋=3，与⌊3.0⌋的结果相同。

实数 x 的取上整函数(Ceiling)记为⌈x⌉，返回不小于 x 的最小整数。例如， ⌈3.4⌉=4，与⌈4.0⌉的结果相同。

 

取模操作符（ Modulus）：

取模函数返回整除后的余数,有时称为求余。在 C#语言中取模操作符的表示为 n%m。从余数的定义可知， n%m 得到一个整数，满足 n=qm+r，其中 q 为一个整数，且 0≤r＜m。

 

对数：

如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数（Logarithm），记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

从定义可知，负数和零没有对数。事实上，因为 a＞0，所以不论 b 是什么实数，都有 ab＞0，这就是说不论 b 是什么数，N 永远是正数，因此负数和零没有对数。

在一个线性表中查找指定值所使用的折半查找算法：首先与中间元素进行比较，以确定下一步是在上半部分进行查找还是在下半部分进行查找。然后继续将适当的子表分半，直到找到指定的值。一个长度为n的线性表被促逐次分半，直到最后的子表中只有一个元素，一共需要进行多少次呢？答案是log2n次。

 

本书中用到的对数几乎都以 2 为底，这是因为数据结构和算法总是把事情一分为二，或者用二进制位来存储编码。

 

递归：

一个算法调用自己来完成它的部分工作，在解决某些问题时，一个算法需要调用自身。如果一个算法直接调用自己或间接地调用自己，就称这个算法是递归的(Recursive)。根据调用方式的不同，它分为直接递归(Direct Recursion)和间接递归(Indirect Recursion)。

 

有很多数学函数是以递归来定义的。

如大家熟悉的阶乘函数，我们可以对n!作如下定义：

阶乘函数的C#语言实现如下。

public static long fact(int n)

{

    if(n <= 1)

       return 1;

    else

       return n * fact(n-1);

}

递归算法通常不是解决问题最有效的计算机程序，因为递归包含函数调用，函数调用需要时空开销。所以，递归比其他替代选择诸如while 循环等，所花费的代价更大。