【每日一题】Problem 189A. Cut Ribbon

原题

解决思路

完全背包问题
用 dp[i][j] 表示到 i 个切分长度，总长度为 j 时，可以裁剪的最大长度
以 5 5 3 2 为例

说明：

1. 以 "0" 元素开始的那行，只是为了特殊情况，例如后面防止 \(i-1\) 越界，以及其他可能要设置初始值的时候，需要这行，因此需要保留
2. 非 "0" 元素的每行中所包含的 "0", 表示当前情况下的裁剪不满足要求，例如 \([3,4]\)，一段为 \(3\)，剩下一段为 \(1\)，不满足要求
3. 非 "0" 元素的每行中所包含的非 "0" 值，代表 \([i,j]\) 下能裁剪的最大段数
   • 例如 \([2, 5]\) 可以剪成 \([2, 3] + 1 = 1 + 1 = 2\)

#include <bits/stdc++.h>

int main() {
    int n; std::cin >> n;
    std::vector<int> len(3, 0);
    for (int i = 0; i < 3; ++i) std::cin >> len[i];

    std::vector<std::vector<int>> dp(4, std::vector<int>(n + 1, 0));
    for (int i = 1; i < 4; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            // 当总长度小于目标裁剪长度时，此时无法裁剪出长度 i
            // 因此，段数以前一个元素 i-1 在总长度为 j 时可以裁剪的段数为准
            if (j < len[i - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else {
                // 需要判断减掉当前长度时，上下的长度能否裁剪出满足要求的长度
                // 若不能，则段数以前一个元素 i-1 在总长度为 j 时可以裁剪的段数为准
                // 需要注意的是，剩余长度为 dp[i][0] 时是一个特例
                if (j != len[i - 1] && dp[i][j - len[i - 1]] == 0) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else dp[i][j] = std::max(dp[i - 1][j], dp[i][j - len[i - 1]] + 1);
            }
        }
    }
    std::cout << dp[3][n] << std::endl;
    return 0;
}

更好的解

特别地，对于 dp[i][j] = std::max(dp[i - 1][j], dp[i][j - len[i - 1]] + 1)

1. 在二维数组中，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j] 处于同一列；
2. 如果把这两个元素放进一维数组 newdp，那么可以把 dp[i-1][j] 看作是更新为 dp[i][j] 前的旧值
   举个例子：
   
   一维数组 newdp 当前值为红框圈出这行的值，当 for 循环进入 i == 3 时，以 \([2,3]\) 为例
   
   此时 newdp[j] = 1，即dp[i][j] = 1，而dp[i-1][j] = 1([3,3])，对应上一轮的 newdp[j] = ${[3,3]}
dp[i][j - len[i - 1]] + 1即newdp[j-len[i-1]]，由于 \(j\) 在循环中是升序，因此该值早于newdp[j]更新
   以上，使用滚动数组完成了二维数组向一维数组的转化

• 以下简单地将二维数组替换成一维数组

#include <bits/stdc++.h>

int main() {
    int n; std::cin >> n;
    std::vector<int> len(3, 0);
    for (int i = 0; i < 3; ++i) std::cin >> len[i];

    std::vector<int> dp(n + 1, 0);
    for (int i = 1; i < 4; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (j < len[i - 1]) continue;
            else {
                if (j != len[i - 1] && dp[j - len[i - 1]] == 0) continue;
                else dp[j] = std::max(dp[j], dp[j - len[i - 1]] + 1);
            }
        }
    }
    std::cout << dp[n] << std::endl;
    return 0;
}

• 合并条件分支

#include <bits/stdc++.h>

int main() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> len(3, 0);
    for (int i = 0; i < 3; ++i) std::cin >> len[i];

    std::vector<int> dp(n + 1, 0);
    for (int i = 1; i < 4; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (j >= len[i - 1] && (j == len[i - 1] || dp[j - len[i - 1]] != 0))
                dp[j] = std::max(dp[j], dp[j - len[i - 1]] + 1);
        }
    }
    std::cout << dp[n] << std::endl;
    return 0;
}

感慨

动态规划真的绕脑子啊，还是回力扣做了好几道动态规划，又学了一下 0-1/完全背包的二维实现、滚动数组实现，积攒了好几天的题，才终于能补上了。。