38. 最长连续有序子数组
一. 问题
给定含 n 个整数的数组，找出连续的有序最长子数组。算法的运行时间是多少？
二. 思路
假设有一个序列， data = (1, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 0)，显然，从元素 1 到元素 4 是升序排列的，并且有 4 个元素。我们为了简单起见，仅查找升序排列的子序列。
要获得子序列的情况，我们需要三个信息：（1）子序列开始下标（2）子序列结尾下标（3）子序列长度。并且还需要三个辅助变量：（1）中间结果子序列开始下标（2）中间结果子序列结束下标（3）中间结果子序列长度。
我们从首元素开始，依次向后比较，同时用上面提到的辅助变量记住需要的下标，如果满足条件，则一直向后推；如果不满足条件，则将这些下标记录在结果中。再重置辅助变量，直到比较完所有元素。因为有升序这一条件，我们便可以保证操作不用回退，即一路推下去。
三. 代码实现
1 vector<int> max_ordered_sub_sequence(const vector<int>& data) { 2 vector<int> result; 3 int start_index = 0, end_index = 0, sequence_len = 1; 4 int temp_len = 1; 5 6 for (int temp_start = 0, temp_end = 1; temp_end < data.size(); ++temp_end) { 7 int k = temp_end - 1; 8 if (data[k] <= data[temp_end]) { 9 ++temp_len; 10 continue; 11 } 12 13 if (temp_len > sequence_len) { 14 sequence_len = temp_len; 15 start_index = temp_start; 16 end_index = temp_end -1 ; 17 temp_start = temp_end; 18 temp_len = 1; 19 } else { 20 temp_start = temp_end; 21 temp_len = 1; 22 } 23 } 24 25 result.push_back(sequence_len); 26 result.push_back(start_index); 27 result.push_back(end_index); 28 29 return result; 30 }
（1）代码分析
第 2 到 4 行，我们进行变量初始化。只有一个元素的时候，前后下标一致，此时子序列中含有 1 个元素。第 8 到 11 行，元素如果升序，则向下推。第 13 到 18 行，算法执行到这里，说明元素已经出现了逆序，并且当前子序列比原来的子序列更长，那么我们要把辅助变量记住，然后进行重置。第 19 到 22 行说明，虽然出现了逆序，但是当前子序列的长度，并没有超过我们已经记录的子序列，此时只需要重置辅助变量。第 25 到 27 行，执行到这里，说明算法执行完毕，将结果放到 vector 中返回即可。
（2）算法正确性证明
我们一开始考虑，若序列只包含一个元素，那么最长子序列就是它本身。如果序列长度大于 1，那么进行比较。我们记录的下标只有在需要的时候才会进行更新，也就是逆序的时候。而按照升序排列，当前子序列最后一个元素，一定是比该序列前面元素大（可以相等），走到现在产生了逆序，说明这个新元素比子序列所有元素都要大，此时不用回退，而是可以直接将辅助变量的开始下标，拉到结束位置。如果到达末尾，那么结果必将是所求的最长子序列。算法只遍历一遍序列，显然，时间复杂度是 O(n)。
（3）额外优化
我们再更进一步，仔细思考一个小问题：假如前一个子序列是最长的，它的长度过了整个序列的一半。此时它突然遇到一个逆序。这个时候，我们可以直接返回结果，因为后一半元素，就算也是有序的，长度也肯定不会大于前面的子序列。
