计算几何：凸包

对于初学计算几何的OIer来说，Graham算法是个不错的凸包算法。Graham算法相比极角排序法来说，更为直观也更容易理解。

数据定义

class Point {
public:
    double x, y;

    Point(double x = 0, double y = 0):x(x), y(y) {}

    Point(Point a, Point b) {
        //构造从a到b的向量
        x = b.x - a.x;
        y = b.y - a.y;
    }

    double dist(const Point& p) const {
        //计算从自身到点P的距离
        return sqrt((x - p.x) * (x - p.x) + (y - p.y) * (y - p.y));
    }

    double operator * (const Point& p) const {
        //计算向量叉积
        return x * p.y - p.x * y;
    }

    bool operator < (const Point& p) const {
        //按照X轴排序
        return (x == p.x) ? (y < p.y) : (x < p.x);
    }

    friend istream& operator >> (istream& in, Point& p) {
        //重载 >> 运算符使得cin可以输入
        in >> p.x >> p.y;

        return in;
    }
};

const int MAXN = 10000 + 5;

Point p[MAXN];
int st[MAXN], top = -1; //点栈
int n;

主程序

void input() { //输入所有点
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> p[i];
    }
}

int main() {
    input();
    sort(p, p + n); //对点进行直角坐标排序􏰣􏰳􏰣􏰳􏰮􏰂
    double ans = 0;

    st[++top] = 0; //将第一个点入栈
    st[++top] = 1; //将第二个点入栈

    for(int i = 2; i < n; i++) {
        Point u(p[st[top - 1]], p[st[top]]); //计算栈顶两个点构成的向量
        Point v(p[st[top]], p[i]); //计算当前点与栈顶构成的向量

        while(u * v < 0) { //若叉积小于0
            if(top == 0) { //当栈中只有一个元素时，退出循环
                break;
            }
            top--; //弹出栈顶
            u = Point(p[st[top - 1]], p[st[top]]); //更新
            v = Point(p[st[top]], p[i]); //更新
        }
        st[++top] = i; //将第i个点压入栈中
    }

    for(int i = 0; i <= top - 1; i++) {
        ans += p[st[i]].dist(p[st[i + 1]]); //累加下半个凸包的长度
    }
    top = -1; //清空栈
    
    //求出上半个凸包，与前半部分大同小异
    st[++top] = 0;
    st[++top] = 1;

    for(int i = 2; i < n; i++) {
        Point u(p[st[top - 1]], p[st[top]]);
        Point v(p[st[top]], p[i]);

        while(u * v > 0) {
            if(top == 0) {
                break;
            }
            top--;
            u = Point(p[st[top - 1]], p[st[top]]);
            v = Point(p[st[top]], p[i]);
        }
        st[++top] = i;
    }

    for(int i = 0; i <= top - 1; i++) {
        ans += p[st[i]].dist(p[st[i + 1]]);
    }
    top = -1;

    cout << setprecision(2) << fixed << ans << endl; //控制精度

    return 0;
}