题解 洛谷 P3410 拍照

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题目分析

如果我们将要求拍照的人和下属之间按照要求关系连有向边，我们就会发现题目实际上是要求我们求出有向图的最大权闭合子图。即，在一张有向图上选择一个点集，要求点集中的每一个点的后继也都在这个点集中，使点集中点权和最大。

对于这类问题，有一个结论：从源点向所有正权点连边，边权为原点权；从所有负权点向汇点连边，边权为原点权的绝对值；原图中的边权设为正无穷。则最大权闭合子图的权值和 = 所有正权点的权值和 - 新图的最小割。

对结论的证明

我们先做如下约定：

1. 割掉源点与正权点 \(u\) 之间的边，表示不选择点 \(u\) 进入子图。
2. 割掉负权点 \(v\) 与汇点之间的边，表示选择点 \(v\) 进入子图。

则我们跑一遍最小割后得到的一定是闭合子图，证明如下：考虑任意得到的子图内的任意正权点 \(u\)，若存在其后继节点 \(v\) 没有被选择进入子图，分为两种情况：如果 \(v\) 权值为负，按照上述约定，点 \(v\) 与汇点间的边会被保留，源点与汇点联通，与最小割的定义矛盾；如果 \(v\) 权值为正，按照上述约定，源点与点 \(v\) 间的边会被割掉，但点 \(u\) 与点 \(v\) 联通，不割掉源点与点 \(v\) 间的边仍然是一个割，且权值和更小，与最小割的定义矛盾。

因为最大权闭合子图的权值和为：

被选的正权点权值和 - 被选的负权点权值和的绝对值

等价于

所有正权点的权值和 - (不被选的正权点的权值和 + 被选的负权点权值和的绝对值)

而根据先前的约定，我们可以得到：

最小割 = 不被选的正权点的权值和 + 被选的负权点权值和的绝对值

所以

最大权闭合子图的权值和 = 所有正权点的权值和 - 新图的最小割

代码实现

因为最大流=最小割，所以跑一边最大流即可。笔者在这里选择使用 Dinic 算法来实现代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200 + 5;
const int MAXM = 1000000 + 5;
const int INF = INT_MAX;

queue<int> q;
int head[MAXN], to[MAXM], nxt[MAXM], flow[MAXM], cap[MAXM];
int tot = 1;
int dep[MAXN], cur[MAXN];
int m, n, s, t;

void addEdge(int u, int v, int c, int f) {
    tot++;
    to[tot] = v;
    nxt[tot] = head[u];
    flow[tot] = f;
    cap[tot] = c;
    head[u] = tot;
}

bool bfs() {
    memset(dep, 0, sizeof(dep));
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(s);
    dep[s] = 1;
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        for(int i = head[u]; i != 0; i = nxt[i]) {
            if(cap[i] > flow[i] && dep[to[i]] == 0) {
                dep[to[i]] = dep[u] + 1;
                q.push(to[i]);
                if(to[i] == t) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int dinic(int u, int f) {
    if(u == t || f == 0) {
        return f;
    }
    int rest = f;
    for(int& i = cur[u]; i != 0; i = nxt[i]) {
        if(cap[i] > flow[i] && dep[to[i]] == dep[u] + 1) {
            int k = dinic(to[i], min(rest, cap[i] - flow[i]));
            if(k == 0) {
                dep[to[i]] = 0;
            }
            flow[i] += k;
            flow[i ^ 1] -= k;
            rest -= k;
            if(rest == 0) break;
        }
    }
    return f - rest;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &m, &n);
    s = m + n + 1;
    t = m + n + 2;
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int v, p;

        scanf("%d", &v);
        sum += v;
        addEdge(s, i, v, 0);
        addEdge(i, s, 0, 0);
        while(1) {
            scanf("%d", &p);
            if(p == 0) break;
            addEdge(i, p + m, INF, 0);
            addEdge(p + m, i, 0, 0);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int v;

        scanf("%d", &v);
        addEdge(i + m, t, v, 0);
        addEdge(t, i + m, 0, 0);
    }
    int maxflow = 0;
    while(bfs()) {
        memcpy(cur, head, sizeof(head));
        maxflow += dinic(s, INF);
    }
    printf("%d\n", sum - maxflow);

    return 0;
}