五分钟理解什么是 Monad
引言
对于很多想要了解函数式编程（Functional Programming）或者是 Haskell 的 OIer 而言，Monad 是一个非常不友好的概念，但当你理解了它之后你就会不理解为什么你之前不理解它（
一个单子（Monad）说白了不过就是自函子范畴上的一个幺半群而已，这有什么难以理解的？
（上面这句话其实并不是 Monad 的严格定义，因为是“自函子范畴上的一个幺半群”的东西不一定是 Monad，比如 Applicative 也符合上述定义。这句话的出处是一篇著名的恶搞文章，所以也不要太认真地对待这句话。）
由于 Monad 这一概念本身对新手并不友好，大众 Monad 的误解有一箩筐，包括但不限于：
- Monads are impure.
- Monads are about effects.
- Monads are about state.
- Monads are about imperative sequencing.
- Monads are about IO.
- Monads are dependent on laziness.
- Monads are a “back-door” in the language to perform side-effects.
- Monads are an embedded imperative language inside Haskell.
- Monads require knowing abstract mathematics.
- Monads are unique to Haskell.
虽然在实际的开发中，Monad 的应用确实很复杂，但如果只是要理解 Monad 的概念的话其实很简单。（？）
解释
Functor
要理解 Monad 是什么，首先要理解 Functor 是什么。
Functor 可以理解为一个装着函数或值的盒子。 准确地说，这种盒子是“类型构造子”，符合一定规则的类型构造子才能被称为函子（Functor）：
- 对任何对象 \(X \in \mathcal{C}\) ，恒有 \(F(id_X) = id_{F(X)}\) 。
- 对任何态射 \(f:X \rightarrow Y\), \(g:Y \rightarrow Z\) ，恒有 \(F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)\) 。换言之，函子会保持单位态射与态射的复合。
用 Maybe 类型来举例就是：
data Maybe a = Just a | Nothing
这种数据类型无论在哪里都很常用，在 C++ 等语言里我们也经常处理除了 int，double 之外的各种复杂数据类型。但 Functor 并不是一个盒子那么简单，它还有一个重要定义是 fmap：
class Functor f where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
具体来说，就是一个函数，输入一个 输入一个值输出一个值的函数 f(x) 和一个 Functor x，返回一个 Functor f(x)，简单来说就是对盒子里的值进行操作。
举个栗子：
Prelude> fmap (*3) Just 2
Just 6
总而言之，Functor 就是一个装着值的盒子，并且可以用 fmap 函数来用一个普通函数生成另一个 Functor。
Applicative
Applicative 是一种特殊的 Functor，它除了 fmap 外还实现了另一个函数 <*>
class (Functor f) => Applicative f where
pure :: a -> f a
(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b
（了解面对对象的同学可以理解为 Applicative 继承了 Functor）
<*> 函数（熟悉 C++ 的同学可以理解为一个运算符）用来给给一个装在盒子里的值施加一个装在盒子里的函数，举个栗子：
Prelude> Just (*3) <*> Just 2
Just 6
准确的说，<*> 函数接受一个f (a -> b)，返回一个f a -> f b。即输入一个含有函数的 Applicative 和一个含有值的 Applicative，输出一个含有结果的 Applicative。
《Haskell 趣学指南》中有一个典型的示例：
myAction :: IO String
myAction = (++) `fmap` getLine <*> getLine
这段代码输入两行字符串并拼接，返回对应的 IO Action，它具体做了什么？首先，geiLine的返回值是一个 IO Action，它也属于一种 Applicative，所以也实现了<*> 函数。Applicative 作为 Functor 的子集当然也实现了 fmap，换句话说 (++) fmap getLine实际上是一个IO ([Char] -> [Char])，即一个含有函数的 Applicative，所以还要使用<*> 函数将其应用到另一个IO Action即getLine，最后的结果也是一个 Applicative（IO Action）。
下面这个例子可能更好理解：
Prelude> (+) `fmap` Just 2 <*> Just 8
Just 10
前面的 fmap (+) Just 2的值实际上等于Just (+2)，所以整个表达式就等于Just (+2) <*> Just 8，即Just 10。
Applicative的定义：一个实现了<*>函数的 Functor
总而言之，Applicative 就是一个装着值的盒子，并且可以用 fmap 函数来用一个普通函数生成另一个 Applicative，并且还可以用<*>函数来用一个装在盒子（Functor）里的函数生成另一个 Applicative。
Monad
现在你已经了解了所有前置知识，可以了解 Monad 了。（大雾）
Monad 是一种特殊的 Applicative，它除了 <*> 外还实现了另一个函数 >>=
class (Applicative m) => Monad m where
(>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
return :: a -> m a
>>= 函数用把一个装在盒子里的值直接扔进一个“处理数据并自动打包盒子的函数”，举个栗子：
threeTimes x = Just (x * 3)
Prelude> threeTimes 2
Just 6
但是盒子里的值是无法被直接取出的，所以我们不能直接用这个函数处理装在盒子里的值，所以此时要用到 Monad：
Prelude> Just 2 >>= threeTimes
Just 6
总而言之，Monad 就是一个装着值的盒子，并且可以用 fmap 函数来用一个普通函数生成另一个 Monad，并且还可以用<*>函数来用一个装在盒子（Functor）里的函数生成另一个 Monad，并且还可以用>>=函数来用一个“处理数据并自动打包盒子的函数”生成另一个 Monad。
这只是一个通俗的解释，更形式化的，一个 Monad 必须符合以下三条规则才能被称为 Monad:
(return x) >>= f == f x -- left unit law
m >>= return == m -- right unit law
(m >>= f) >>= g == m >>= (\x -> f x >>= g) -- associativity law
Haskell 中的 return 是指把一个值打包进 Monad 里，和其他语言中的 return 没什么关系。
如果你要实现自己的 Monad，则必须符合上述三条规则。
在数学中，符合上述三条定律的东西被称为幺半群。敏锐的读者可以立即察觉到，Monad 就是一个幺半群。
Left Unit Law
这条规则指的是，将一个值打包进 Monad 然后再>>=到一个函数，等同于直接将值应用于这个函数。
Prelude> (return 3) >>= (\x -> Just (x * 2))
Just 6
Prelude> (\x -> Just (x * 2)) 3
Just 6
考虑到>>=的定义，这是比较显然的。
Right Unit Law
这条规则指的是，将一个 Monad >>=到return函数，得到的是原来的 Monad。用形式化的语言来说就是“Monad 是一个自相似的几何结构”。
Prelude> Just 3 >>= return
Just 3
我们可以参照 >>=的实现来理解：
instance Monad Maybe where
return x = Just x
(>>=) Nothing f = Nothing
(>>=) (Just x) f = f x
注意第四行代码，这里的Just中的值被拆出来放进函数f里，而这里的f就是return，所以又产生了原先的 Monad。
Associativity Law
>>=函数符和结合律。
Prelude> f x = Just (x + 3)
Prelude> g x = Just (x * 2)
Prelude> (Just 1 >>= f) >>= g
Just 8
Prelude> Just 1 >>= (\x -> f x >>= g)
Just 8
这里的结合律体现的不是很明显，我们考虑形如a -> v普通函数之间的运算.
(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c)
f . g = (\x -> f (g x))
则有
(f . g). h == f . (g . h)
那么对于形如Monad m => a -> m b的函数，有
(<=<) :: (Monad m) => (b -> m c) -> (a -> m b) -> (a -> m c)
f <=< g = (\x -> g x >>= f)
易得
(f <=< g) <=< h == f <=< (g <=< h)
示例如下：
Prelude> f x = Just (x + 3)
Prelude> g x = Just (x * 2)
Prelude> h x = Just (x + 5)
Prelude> ((f <=< g) <=< h) 7
Just 27
Prelude> (f <=< (g <=< h)) 7
Just 27
如果读者了解幺半群的概念，就会意识到这里return就是<=<运算的幺元（有时也称为单位元）：
Prelude> (f <=< return) 7
Just 10
Prelude> (return <=< f) 7
Just 10
Monad 辟谣
谣言 1：Monad 不纯
回答：你才不纯！你全家都不纯！
\(\lambda\) 演算与图灵机等价，Haskell 显然也与 C++ 等价，纯函数本身就能解决所有问题。
谣言 2：Monad 能实现状态
回答：\(\lambda\) 演算中状态可以用映射的方式模拟，Monad 只是一个更方便的语法用来处理状态。
谣言 3：Monad 是 Haskell 中的嵌入式命令式语言
回答：Haskell 是纯粹的函数式编程语言，do 语句只是长得像命令式而已。下面的例子会解释 do 其实只是 >>=的语法糖。
谣言 4：了解 Monad 必须理解范畴论
回答：不不不，在不了解范畴论的情况下并不是不能写出包含 Monad 的程序，只是要更进一步的话需要一些范畴论的知识。
谣言 5：Monad 是 Haskell 独有的
回答：Monad 一开始是范畴论的概念，后来被函数式编程（FP）借用。任何编程语言都可以实现 Monad，包括 C++ 也可以，这只是必要性的问题。
谣言 5：Monad 用来进行 IO 操作
回答：Monad 的特性确实使它很适合用来管理 IO，但 Monad 本身在定义上和 IO 半毛钱关系没有！
谣言 6：Monad 用来进行有副作用的操作
回答：同上！！！
谣言 7：JavaScript 中的 Promise是 Monad
回答：这个谣言流传的非常广泛，在网上很多地方都能看到“Promise 是一种 Monad”的观点。Promise确实看起来像一个 Monad，也有类似 Monad 的操作，但它并不符合上述三条定律，即不符合 Monad 的定义。如果你在 Haskell 中弄出类似的东西并将其作为 Monad 使用，肯定会在 do语句等地方出大问题！
让我们仔细审视一下 Promise 是否符合上述三条定律：
Promise.resolve(x).then(f) === f(x)
m.then(x => Promise.resolve(x)) === m
m.then(f).then(g) === m.then(x => f(x).then(g))
仿佛是符合的，但如果x是一个 Promise，Promise.resolve(x)就会把a给resolve掉，也就不是一个 Promise 了，即不符合第一条Left Unit Law。
Monad 的具体应用
Maybe 类型
Haskell 中的 Maybe 类型在概念上与 Haskell 的 Option<T>类似，由一个值或者是Nothing组成，用来表示返回无意义值。
举个例子，用 Maybe 类型来写除法：
safeDiv :: Int -> Int -> Maybe Int
safeDiv _ 0 = Nothing
safeDiv a b = Just (a / b)
假设我们要计算 a / b / c / d / e，在知道 Haskell 的模式匹配用法后，我们可以写出这样的代码：
calc :: Int -> Int -> Int -> Int -> Int -> Maybe Int
calc a b c d e = case safeDiv a b of
Just x -> case safeDiv x c of
Just y -> safeDiv y d
Just z -> safeDiv z e
Nothing -> Nothing
Nothing -> Nothing
Nothing -> Nothing
令人头大，但利用 Monad 的 >>= 运算可以很方便地完成“模式匹配拆包再打包的过程”，具体代码如下：
calc :: Int -> Int -> Int -> Int -> Int -> Maybe Int
calc a b c d e =
safeDiv a b >>= (\x ->
safeDiv x c >>= (\y ->
safeDiv y d >>= (\z ->
safeDiv z e)))
简单明了多了，但是嵌套的闭包第一眼看上去并不直观。所以 Haskell 还提供了 do 语句作为 >>= 的语法糖：
calc :: Int -> Int -> Int -> Int -> Int -> Maybe Int
calc a b c d e = do
x <- safeDiv a b
y <- safeDiv x c
z <- safeDiv z d
safeDiv z e
这就是常见的 do 语句的实际含义。注意，这并不是命令式编程，只是看起来像，它的本质是嵌套的闭包。
Maybe 的 Monad 实际上是这样实现的：
instance Monad Maybe where
return x = Just x
(>>=) Nothing f = Nothing
(>>=) (Just x) f = f x
第三行语句帮助我们略去了不断检查是否为Nothing的过程。
IO Monad
可能您还是不明白 Monad 到底有什么用，这里就再举一个例子： IO
main = do
putStrLn "What is your name?"
name <- getLine
putStrLn ("Hello, " ++ name ++ "!")
它等价于下面的代码：
main = putStrLn "What is your name?" >>= (\_ ->
getLine >>= (\name ->
putStrLn ("Hello, " ++ name ++ "!")))
（do 语句实质上是 >>= 的语法糖）
这样写的原因是 Haskell 中对于语句的执行顺序并没有严格规定（惰性求值），但 IO 操作必须以顺序的方式执行。使用 Monad 嵌套后，第一行、第二行、第三行就肯定会按照严格的顺序执行。（被调用前会先被求值。）
自函子范畴上的幺半群
这里解释一句老话“一个单子（Monad）说白了不过就是自函子范畴上的一个幺半群而已，这有什么难以理解的？”
(笔者并不了解范畴论，内容可能有错漏。)
范畴
要真正理解 Monad 实际上只能从范畴论的角度入手。
首先，范畴论中将所有事物都看作“对象”，1 是对象，lambda x: x * 2 是对象，String::from("hello") 是对象，姚明是对象，汽车的行驶是对象，加法是对象，考试作弊的方法是对象，范畴也是对象（这个很重要），你正在读的这句话也是对象。
对象时间的关系被称为“态射”，最常见的态射就是函数或者说映射（如集合论中），态射也是一种对象。
一个范畴 \(\mathcal{C}\) 由两个类给定：一个对象的类和一个态射的类。用人话来说就是一些对象和对象之间的态射。
态射之间有组合操作，组合操作的幺元是单位态射 \(id\)，它不改变对象，与任何态射组合都得到原态射本身。
函子
前面说过范畴也是对象，所以说范畴之间也存在态射。函子就是范畴之间的态射
以下内容摘自维基百科：
设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为范畴。从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\mathcal{D}\) 的函子为一映射 \(F\) ：
- 将每个对象 \(X \in \mathcal{C}\) 映射至一对象 \(F(X) \in \mathcal{D}\) 上，
- 将每个态射 $f:X \rightarrow Y \in \mathcal{C} $ 映射至一态射上，使之满足下列条件：
- 对任何对象 \(X \in \mathcal{C}\) ，恒有 \(F(id_X) = id_{F(X)}\) 。
- 对任何态射 \(f:X \rightarrow Y\), \(g:Y \rightarrow Z\) ，恒有 \(F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)\) 。换言之，函子会保持单位态射与态射的复合。
由一范畴映射至其自身的函子称之为“自函子”。
上面的两个条件在 Haskell 中的表述其实并不复杂：
fmap id = id
fmap (f . g) = fmap f . fmap g
用 Maybe 类型来举例就是：
data Maybe a = Just a | Nothing
instance Functor Maybe where
fmap :: (a -> b) -> Maybe a -> Maybe b
fmap f Nothing = Nothing
fmap f (Just a) = Just (f a)
容易看出 Maybe 是符合上述条件的，所以 Maybe 作为一个类型构造子是一个函子。
显而易见的，整个 Haskell 中只有一个范畴，即数据类型。所以在 Haskell 中，所有的函子都是自函子。
Cat 范畴
Cat 范畴简单来说就是范畴的范畴，它的态射就是函子。Cat 范畴中也有单位态射，也称为单位函子 \(Id\)，它是一个特殊的自函子。同理，单位函子不改变范畴，与任何函子组合都得到原函子本身。
幺半群
幺半群（Monoid）简单来说就是有幺元的半群。
半群是指一个非空集合 \(S\)，\(S\) 上定义了一个闭合二元运算运算 \(\circ\) （闭合是指 \(\circ: S \times S \rightarrow S\)），满足结合律：
对于任意 \(a, b, c \in S\)，\((a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\)
则 \(\langle S, \circ \rangle\) 是一个半群。
幺半群是指对于一个半群 \(\langle S, \circ \rangle\)，存在 \(e \in S\)（幺元），使得其满足单位元定律：
对于任意 \(a \in S\)，\(a \circ e = e \circ a = a\)
则 \(\langle S, \circ, e \rangle\) 是一个幺半群。
例如 \(\langle N, +, 0 \rangle\) 就是一个幺半群。
在 Haskell 中幺半群是这么定义的：
class Monoid m where
mempty :: m
mappend :: m -> m -> m
mconcat :: [m] -> m
mconcat = foldr mappend mempty
其中 mempty就是半群中的幺元，mappend就是半群中的二元运算。
\(\langle N, +, 0 \rangle\) 可以表示为
instance Monoid Int where
mempty = 0
mappend = (+)
同样的，\(\langle N, \times, 1 \rangle\) （也是一个幺半群）可以表示为
instance Monoid Int where
mempty = 1
mappend = (*)
自然变换
简单来说，自然变换就是将从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\mathcal{D}\) 的函子 \(F\) 映射为另一个从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\mathcal{D}\) 的 \(G\)，同时保持范畴的内在结构（态射间的复合）不变（即所谓“一致性”）。当函子被视为对象时，自然变换可以是函子间的态射。
Monad
Monad 说白了不过就是自函子范畴上的一个幺半群而已。
考虑一个 Cat 范畴，它只有一个对象：范畴 \(\mathcal{C}\) ，那么它的态射就是就是范畴 \(\mathcal{C}\) 的自函子，这些自函子与他们之间的自然变换构成一个自函子范畴。
Haskell 中只有数据类型一个范畴，所以 Haskell 中的所有函子都是自函子，与他们之间自然变换一起构成一个自函子范畴，Monad 构成的集合是 Haskell 的自函子的一个子集。而前面说过这个子集本身符合幺半群的定义，所以 Monad 本质上就是自函子范畴上的一个幺半群（里的对象）。
这就解释了那句老话“一个单子（Monad）说白了不过就是自函子范畴上的一个幺半群而已，这有什么难以理解的？”
