BZOJ#3771. Triple(FFT+生成函数)

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3771: Triple

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 64 MB
Submit: 892  Solved: 513

Description

我们讲一个悲伤的故事。

从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。

这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫一看：“是啊是啊！”

水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”

水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。

于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”

水神看着他，哈哈大笑道：

“你看看你现在的样子，真是丑陋！”

之后就消失了。

 

樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。

于是他准备回家换一把斧头。

回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。

水神拿着的的确是他的斧头。

但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。

换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。

 

樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。

他想统计他的损失。

樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。

他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。

注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

Input

第一行是整数N，表示有N把斧头。

接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。

Output

若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。

Sample Input

4
4
5
6
7

Sample Output

4 1
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.

HINT

所有数据满足：Ai<=40000

 

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 problem：

给定一些斧头及其价值，每次最多选三个出来，问每个价值的方案数

 

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 solution：

FFT+生成函数
每个斧头的价值都不同
A为只选一个的多项式
B为只选两个相同的斧头
C为只选三个相同的斧头

我们最后答案肯定就是
选一个时，直接加A
选两个时，(A*A-B)/2 (除以二是为了取消重复的组合,(2,3)-(3,2))
选三个时，(A*A*A-3*A*B+2*C)/6 (因为会多减两个三个相同的情况，最后加回来)

感悟：
我们做这种题时，往往可以把权值放在指数上，通过卷积快速求得和的方案数

 

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 附上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
const int N=140010;
int n;

struct Complex 
{
    double x,i;
    Complex(){}
    Complex(double a,double b) {x=a;i=b;}
}A[N],B[N],C[N],D[N];

Complex operator + (Complex a,Complex b) {return Complex(a.x+b.x,a.i+b.i);}
Complex operator - (Complex a,Complex b) {return Complex(a.x-b.x,a.i-b.i);}
Complex operator * (Complex a,Complex b) {return Complex(a.x*b.x-a.i*b.i,a.x*b.i+a.i*b.x);}
int rev[N];
void FFT(Complex *a,int t)
{
    for(int i=1;i<n;i++) if(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        Complex wn(cos(2*pi/(i<<1)),t*sin(2*pi/(i<<1)));
        for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
        {
            Complex w(1,0),t0,t1;
            for(int k=0;k<i;k++) 
            {
                t0=a[j+k];t1=w*a[i+j+k];
                a[j+k]=t0+t1;
                a[i+j+k]=t0-t1;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    
    scanf("%d",&n);
    int x;
    int imax=-1;
    for(int i=0;i<n;i++) 
    {    
        scanf("%d",&x);
        A[x].x++;B[x*2].x++;C[x*3].x++;
        imax=max(imax,x*3);
    }
    n=1;int len=0;
    while(n<=imax) n<<=1,len++;
    rev[0]=0;for(int i=1;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
    FFT(A,1);FFT(B,1);FFT(C,1);
    for(int i=0;i<n;i++) 
    {
        Complex tmp0(2.0,0),tmp1(3.0,0),tmp2(1.0/6.0,0),tmp3(1.0/2.0,0);
        D[i]=D[i]+A[i];
        D[i]=D[i]+(A[i]*A[i]-B[i])*tmp3;
        D[i]=D[i]+(A[i]*A[i]*A[i]-A[i]*B[i]*tmp1+tmp0*C[i])*tmp2;
    }
    FFT(D,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) 
    {
        D[i].x=(int)(D[i].x/n+0.5);
        if(D[i].x) printf("%d %.0lf\n",i,D[i].x);
    }
    return 0;
}

 

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