QOJ970 Best Subsequence

题意简述

给定序列 $a_{1 \cdots n}$，有 $q$ 次询问，每次给定 $l, r, k$，你需要在 $l \sim r$ 中找到一个长度为 $k$ 的子序列 $b_{1 \cdots k}$，求 $\max\limits_{i=1}^k (b_i+b_{i \bmod k + 1})$ 的最小值。

题目解析

考虑二分答案 $m$，将序列中 $\le \frac{m}{2}$ 的位置看做 $1$，$> \frac{m}{2}$ 的看成 $0$.

容易发现在选择的子序列中，不会存在两个相邻的位置使得它们都是 $0$.

回到原数组，每个 $1$ 位置肯定都可以选，而对于每对相邻的 $1$，设它们的位置分别为 $i, j$，有两种可能：

• 若存在 $k \in [i+1, j-1]$ 使得 $\max(a_i+a_k, a_j+a_k) \le m$，则可以选 $i, k, j$；
• 否则只能选 $i, j$（由于 $a_i, a_j \le \frac{m}{2}$，有 $a_i + a_j \le m$）。

设 $x = \max(a_i, a_j), y = \min\limits_{k=i+1}^{j-1} a_k$，可以注意到这对 $1$ 中间的 $0$ 可以选当且仅当 $m \in [x + y, 2y)$.

此处上界为 $2y$ 是因为 $x < y$ 且 $x + y \le m$. 实际上 $m=2y$ 的时候这对 $(i, j)$ 就已经不存在了，因为 $y$ 对应的位置的值会变成 $1$.

考虑每个 $1$ 与符合条件的 $0$ 才会造成贡献。

对于 $1$ 的部分，可以